倍可親

美國總統大選的數學問題

作者:白露為霜  於 2012-10-19 21:15 發表於 最熱鬧的華人社交網路--貝殼村

作者分類:百味人生|通用分類:留學生活|已有27評論

關鍵詞:數學, 美國總統, 大選

總統候選人最低只需獲得多少全國選票就可以贏得美國大選?

 

白露為霜注:這道題目不是我發明的。這是小寶在中學時做過一道數學競賽題。

50%1票?我就知道有人會這樣說。不過答案錯誤,再猜。

投了也白投,白投也要投」一文中提到, 美國總統選舉是一種間接選舉。選民先投票選出選舉人,再由選舉人選出總統。美國憲法Article II規定誰獲得多數的選舉人票誰就獲勝,並沒有提到全國普選得票的數量。那麼有沒有可能一個候選人贏得多於270張的選舉人票卻在全國得票不到半數呢?當然,可能性的確是存在的。這樣的事情在美國歷史上發生過三次。

 

1876年,第十九屆總統Rutherford Hayes 贏得選舉但他的普選票比對手少26張。幾年後的1888年,第二十三屆總統 Benjamin Harrison全國得票比對手少10張。最近的一次是2000年,小布希(George W Bush)同高(Al Gore)奪總統大位。把全世界看得目瞪口呆的是高爾的全國得票比布希高出50張,卻只得到266張選舉人票,以4票之差飲恨。布希險勝羅里達功不可沒。他在這個搖擺州贏了大約300票,可由於種種原因選舉讀卡機拒絕的廢票竟有17之多。兩人佛州重數選票和如何處理這些廢票打官司一直打到最高法院。布希獲勝,歷史就此而改寫。掛著的紙片」 (hanging chad)也變成了美國政治詞語中的一個。

 

美國總統大選的數學問題_圖1-1

官員在研究2000年佛羅里達的選票

 

現在我們把這個例子推向極端。假設羅姆尼運氣極佳而且心想事成,他怎樣才能用最少的全國普選票來贏得大選?我們知道他不需要50%,但到底這個數字是45%35%

要讓這道題有解我們還要做些簡化工作:1) 假設所以州都是贏者全拿」(實際上緬因州和內布拉斯加州是例外)2) 假設所有的選區(congressional district) 投票的人都是一樣多 (實際上還是有差別的)。3)只有兩個候選人(其實還有一些小黨的候選人)。

對於到現在還沒有頭緒的讀者這裡給出提示。產生這種選舉人票和全國普選票不一至現象主要有兩種原因。

提示1:候選人贏得了很多小州

每個州的選舉人的數目相當於這個州的眾議員數目加上參議員數目。比如德州(Texas)有36名眾議員和2名參議員,共38張選舉人票。美國眾議院共435人。每個州的眾議員的數目取決於州的人口。每隔10年,美國就要進行一次人口普查,其目的之一就是確定各個州的眾議員的數量。然後各州還要進行重新划區(redistricting)以確保每個選區的人口基本相同。平均下來,每個選區的人口大約是60萬。

而每個州的參議員的數目卻於人口無關。不管大小每個州都是兩人,50個州共100人。參議員的選區是整個州。

到現在你應該可以看出了。要想以最少的選票取得大選勝利策略之一是贏得許多小州。因為州越小,參議員兩個名額的效果就越顯著。

提示2:候選人在獲勝的州小勝,而在他失敗的州卻大敗

美國
總統大選在州一贏者全拿 (Winner-takes-all)。如果羅姆尼贏得了52%的德州選票,他將獲得德州全部的38張選舉人票。要想以小搏大另一策略就是在他贏的州小勝而在他輸的州大敗。

候選人票的分佈

把這兩個策略合在一起,你就應該能解出這道題。讓我們假設奧巴馬運氣極差。他贏得11個最大的州,包括: 加州(55)佛羅里達(29)伊利諾斯(20)密西根(16)新澤西(14)紐約(29)北卡(15)俄亥俄(18)賓夕法尼亞(20)德州(38)佛及尼亞(13)。這些州給了他267張選舉人票,剛剛好低於270的門檻。奧巴馬不但贏了這些州,而且是獲得了100%的選票,但這沒有幫助,還是只有267張選舉人票。

相應的羅姆尼贏得了剩下的39個州加華盛頓DC,共獲得選舉人票271張,因而獲得的大選的勝利。羅姆尼而且贏得很巧妙,每個州都是50%+1票。

羅姆尼勝出的這些州里有多少選區呢?271人減40州參議員的數目 271 - 40 * 2 = 191個。因為每個州他只贏了一半多一點的選票,所以投票給羅姆尼的人共有 191 * N / 2 = 95.5 * N (N是每選區投票的人數)全國438個選區,所以全國共有 438 * N 羅姆尼的全國得票律是 (95.5 * N) /(438 * N) = 21.8%

答案:總統候選人最低只需獲得全國選票的 21.8% 就當上美國總統

相信不少人對這個數字會很驚訝。只獲得全國選票的22%就可以贏得大選?這還了得!這如何體現多數人說了算的民主原則?如果設計這一制度的美國國父們(founding fathers)知道可能會有這樣的結果不知會如果作想。當然這樣的事情只有在理論上的可能性,在實際生活里是不大會發生。每個國家的制度都有它形成的歷史淵源。當初13個殖民地坐下來討論成立聯邦的時候,各州都在為自己爭取利益。美國獨特的選舉制度也是一個妥協的結果。歷史上也有過好幾次想通過修改憲法把總統選舉改成直選,但這些努力都未能成功。

白露寫這篇博文的目的不是為了批評美國的選舉制度。大多數情況下選舉人票和普選得票結果是相同的,在少數極端情況下,結果卻有很大不同。That's the way it is。是否公平也是見仁見智。作為新移民,對美國政治有個全面的認識,對它的一些獨特屬性有所了解也是很有必要的。民主也是一個學習的過程,作為附加的好處:對算術也有幫助。




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發表評論 評論 (27 個評論)

回復 wcat 2012-10-19 21:21
啊,美國不是直接選舉啊?!這民主嗎?   
回復 解濱 2012-10-19 22:08
有理有據的分析,謝謝提供如此詳盡的信息!
回復 老君岩 2012-10-19 22:15
寫的好!
回復 小皮狗 2012-10-19 23:02
喜歡照片和文章。
回復 白露為霜 2012-10-19 23:15
wcat: 啊,美國不是直接選舉啊?!這民主嗎?    
你的問題很好。美國的制度當然不是完美的。但大多數時間同普選的結果是一至的。偶然有些偏差,美國人似乎並不在意。

現有得安排對小州較為有利。這樣總統大選不會為加州,紐約州這樣的人口大州所壟斷。另一個好處是產生了穩定的兩黨政治。小黨很難在美國出頭。美國人基本上對現有選舉制度是滿意的。改憲的意願並不高。
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回復 白露為霜 2012-10-19 23:16
解濱: 有理有據的分析,謝謝提供如此詳盡的信息!
謝大俠。
回復 白露為霜 2012-10-19 23:16
老君岩: 寫的好!
謝謝留言。
回復 wcat 2012-10-19 23:18
白露為霜: 你的問題很好。美國的制度當然不是完美的。但大多數時間同普選的結果是一至的。偶然有些偏差,美國人似乎並不在意。

現有得安排對小州較為有利。這樣總統大選不 ...
謝謝!   
回復 白露為霜 2012-10-19 23:21
小皮狗: 喜歡照片和文章。
這張照片是2000年佛州重計事件的iconic的圖像,印象極深。我在寫這篇文章時就在想一定要把它找到。
回復 藍天綠地 2012-10-20 05:28
  
回復 liuguang 2012-10-21 10:38
原來我的選票是不算數的?!
回復 Giada 2012-10-21 12:36
哈,脫離實際的極端演演算法,一般好像兩種選法還是比較接近的。再說,很少有某一個黨全贏大州或全贏小州。所以實際情況比極端情況要複雜。不過,我支持改章程普選,這樣選民起碼認為自己在選,自己選的人失敗了也是投了TA的票。現在,選總統就在幾個swing states里鬧,像加州,Romney根本就是沒戲的。
回復 白露為霜 2012-10-21 12:59
Giada: 哈,脫離實際的極端演演算法,一般好像兩種選法還是比較接近的。再說,很少有某一個黨全贏大州或全贏小州。所以實際情況比極端情況要複雜。不過,我支持改章程普選, ...
一個系統的可靠性要考慮到最壞的可能性。   08年經濟危機之前人們不也認為房價不可能在全國範圍內下跌得嗎?
回復 白露為霜 2012-10-21 12:59
liuguang: 原來我的選票是不算數的?!
還是有用的。
回復 Giada 2012-10-24 04:48
白露為霜: 一個系統的可靠性要考慮到最壞的可能性。    08年經濟危機之前人們不也認為房價不可能在全國範圍內下跌得嗎? ...
不過,不希望普選的人也有理由,好像也有文章說現在的選舉人制度比普選要精確。
回復 曉臨 2012-11-6 13:27
學習了,但不大明白。全文的意思好像是先由選民選出「選舉人」,再把每個州的「選舉人」全部算給過半數的「選舉人」所屬之政黨的總統候選人,然後計算候選人所得之「選舉人」的總數,數大者當數。如果我的理解沒錯,就不能說「選民先投票選出選舉人,再由選舉人選出總統。」,因為「選舉人」實際上沒「選」出總統。

在離美國很近的地方住了幾十年,這是首次對南鄰的選舉制度感興趣。我們的總理也不是直選的,但直接由其政黨在下議院所佔之優勢來決定。
回復 曉臨 2012-11-6 13:34
補充一下:我們的上議院席位按每省的人口來分配,這就起不到小省可在上議院抗衡大省的作用。加拿大這一點比不上美國。
回復 白露為霜 2012-11-6 13:39
曉臨: 學習了,但不大明白。全文的意思好像是先由選民選出「選舉人」,再把每個州的「選舉人」全部算給過半數的「選舉人」所屬之政黨的總統候選人,然後計算候選人所得 ...
老百姓在選舉日(明天)選出選舉人,總統選舉的結果已經出來了。
選舉人還是有一個禮節上的選舉形式選舉出總統。但那只是走過場而已,沒有人會注意。

The meeting of the electors takes place on the first Monday after the second Wednesday in December after the presidential election. The electors meet in their respective states, where they cast their votes for President and Vice President on separate ballots. Your state』s electors』 votes are recorded on a 「Certificate of Vote,」 which is prepared at the meeting by the electors. Your state』s Certificates of Votes are sent to the Congress and the National Archives as part of the official records of the presidential election.
回復 白露為霜 2012-11-6 13:43
曉臨: 補充一下:我們的上議院席位按每省的人口來分配,這就起不到小省可在上議院抗衡大省的作用。加拿大這一點比不上美國。 ...
我在加拿大投過票,好像給了Jean Chrétien。
回復 曉臨 2012-11-6 14:02
謝謝講解!那真是比加國複雜多了。
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