倍可親

美妙、有趣的數學(二)神奇的斐波那契數與黃金分割

作者:蘭黛  於 2015-9-8 19:58 發表於 最熱鬧的華人社交網路--貝殼村

作者分類:教育觀察|通用分類:子女教育|已有64評論

關鍵詞:斐波那契數列, 黃金分割, 神奇, 數學之美

美妙、有趣的數學(二)神奇的斐波那契數與黃金分割

上篇感受了數學的數字之美:  https://big5.backchina.com/blog/302989/article-232730.html

斐波拉契數列的來源及關係

斐波拉契(Fibonacci)數列來源於兔子問題,它有一個遞推關係,

   f(0)=1   
   f(1)=1   
   f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2 
   {f(n)}即為斐波拉契數列。

 

這個數列中的每個數字都是前兩項數之和,如果是以11開頭的自然數數列,1123581321345589……這些數字被稱為斐波那契數。同時,這個數列中還暗含著黃金比例,如果用數列中的每一個數字去除它後面的數字,數字越大,結果就越趨近於1.618,也就是我們平常所說的黃金比例。

兔子序列(斐波那契數列)

我們假設兔子在出生兩個月後,就有繁殖能力,一對兔子每個月能生出一對小兔子來。第一個月我們有一對小兔子,如果所有兔子都不死,那麼每個月的兔子對數,就符合斐波那契數列。

每月兔子的總數可以用以下數列表示:1123581321345589144233…。義大利數論家奧納多·斐波那契Leonardo Fibonacci)在他13世紀初的著作Liber Abaci中最早提出的。如果取數列前兩個元素為1,那麼遞推關係就是:

Fn≡ Fn−2+Fn−1

 根據斐波那契數列,可以畫出斐波那契螺旋線,也稱為黃金螺旋線

斐波那契螺旋與黃金矩型

在植物中隱藏著神秘的斐波那契數列

植物中首先被提及與斐波那契數列有關的是花瓣數。不可否認,確實有一些花的花瓣數目暗合這個數列中的數字。比如梅花、山桃花、蘋果花、山茶花都是5個花瓣;而鳶尾和鴨跖草是典型的有3個花瓣的花(雖然鳶尾的萼片看起來很像花瓣,經常被看成6枚花瓣的花)。

3個花瓣的代表:鴨跖草(上),鳶尾(下),5個花瓣的代表:報春花(中)杏花(右)

在上面斐波那契螺旋與黃金矩型圖形中,中間的兩個小正方形邊長都為1,從這兩個正方形出發,沿著順時針方向畫出一些四分之一扇形,這些扇形的半徑長度就符合斐波那契數列。

把這些螺旋線組合起來,可以構成這樣的圖形。

許多植物構造與斐波那契螺旋線完美結合

數一數從向日葵中心向外延伸的螺旋線,你會發現,它們也與數列有密切聯繫。在有300個小花的向日葵花盤上,可以找到34條左旋的曲線和21條右旋的曲線。更大的花盤能找出更多條螺旋線,但是螺旋線的數目總是斐波那契數。類似的,人們還發現菠蘿和松果的花和種子也是類似的排列,上面的螺旋線有的是8條,有的是13條。3421813,這些都是斐波那契數。

最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或樹葉。薊、菊花、向日葵、松果、菠蘿……都是按這種方式生長的。如此的原因很簡單:這樣的布局能使植物的生長疏密得當、最充分地利用陽光和空氣,所以很多植物都在億萬年的進化過程中演變成了如今的模樣,每層樹枝的數目也往往構成斐波那契數列。是不是太奇妙了啊!

下面:洋甘菊、紫色金光菊、白菊花

下面:五角星花、綠芯雛菊、葵花籽、勺子菊花

還發現晶體的結構也往往與斐波那契數列有關。下面是幾張來自晶體中的圖案模型。

貝類成長方式形成的對數螺旋線

貝類的這些成長方式是以各種黃金分割比例形成的對數螺旋線已經成為許多科學研究與藝術研究的課題。



上面是海星

最後告訴大家許多名畫及有名的建築物也與斐波那契螺旋線有關係(篇幅太長,略),以後有時間單獨另寫,再與朋友們分享。

美妙、有趣的數學(三)令人驚嘆的分形藝術之美:https://big5.backchina.com/blog/302989/article-234246.html

轉載請註明

(單張圖片源於網路,最後由筆者編輯、排版而成)

 


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發表評論 評論 (64 個評論)

回復 trunkzhao 2015-9-8 20:27
小時候只是看書上說一說,如今可以對比自然界的實物圖片,令人嘆為觀止。
回復 蘭黛 2015-9-8 21:01
trunkzhao: 小時候只是看書上說一說,如今可以對比自然界的實物圖片,令人嘆為觀止。
謝謝大樹君,請坐,請喝茶!
回復 fanlaifuqu 2015-9-8 21:28
神奇的科學與自然的關係!
回復 洛游郵樂 2015-9-8 21:30
小時候曾對數學很著迷過,再補一下舊夢。謝謝分享。BTW,那個最大的螺旋線圖(黑點組成的)當我上下移動mouse時,圖案視覺上在旋轉。酷!
回復 ymliu 2015-9-8 21:56
造化竒妙
回復 wo? 2015-9-8 22:07
說什麼股市的波動也和此相關
回復 jc0473 2015-9-8 22:33
巧合重複出現就是規律了 謝謝分享!
回復 蘭黛 2015-9-8 22:48
fanlaifuqu: 神奇的科學與自然的關係!
番老早上好!最恰當的比喻,謝謝您一向的鼓勵與支持!
回復 蘭黛 2015-9-8 22:54
洛游郵樂: 小時候曾對數學很著迷過,再補一下舊夢。謝謝分享。BTW,那個最大的螺旋線圖(黑點組成的)當我上下移動mouse時,圖案視覺上在旋轉。酷!
謝謝洛樂君!那就是「波那契螺旋線」奇妙的是許多植物按照此線生長,最能夠充分地利用陽光和空氣,冥冥之中,有種神奇的力量在掌控著。
謝謝您的評論!
回復 蘭黛 2015-9-8 22:57
ymliu: 造化竒妙
「神奇的科學與自然的關係!」ZT番老的話。
謝謝劉君的關注!
回復 蘭黛 2015-9-8 22:59
wo?: 說什麼股市的波動也和此相關
哦,不是!股市是與另一種奇妙的數學關係(圖形)有關,我將在後面的續篇講到。
謝謝W君!
回復 蘭黛 2015-9-8 23:01
jc0473: 巧合重複出現就是規律了 謝謝分享!
詩哥早啊!謝謝您一向的鼓勵與支持!
回復 前兆 2015-9-8 23:25
自然界竟然如此之美妙!贊!     
回復 蘭黛 2015-9-8 23:29
前兆: 自然界竟然如此之美妙!贊!        
謝謝教授!
回復 前兆 2015-9-8 23:48
張張照片都十分精彩!
回復 法道濟 2015-9-8 23:54
既然是最合理比例,為什麼人類當中黃金比例的美女少之又少,大部分歪瓜劣棗?
回復 蘭黛 2015-9-9 00:01
法道濟: 既然是最合理比例,為什麼人類當中黃金比例的美女少之又少,大部分歪瓜劣棗?
你看到的是網上搞笑的。「波那契螺旋線」時有角度的,我想您忽略了這點。
那是把黃金分割的位置轉了角度擺放。為什麼我們看雕塑會覺得比真人美呢?是雕塑家在藝術的過程中,理想化,按照這個比例來雕塑的,而自然人中卻少有這樣嚴格的比例的。
回復 法道濟 2015-9-9 00:02
蘭黛: 您說的是把黃金分割的位置轉了角度擺放。為什麼我們看雕塑會覺得比真人美呢?是雕塑家在藝術的過程中,理想化,按照這個比例來雕塑的,而自然人中卻少有這樣嚴格
這美的永遠是稀少的,可惜!
回復 蘭黛 2015-9-9 00:10
法道濟: 這美的永遠是稀少的,可惜!
不可惜,美有許多種,內涵的美才是最重要的。
回復 法道濟 2015-9-9 00:12
蘭黛: 不可惜,美有許多種,內涵的美才是最重要的。
   蘭黛會說話,聽你的,以後盡量多關注內在美,心裡美

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