美妙、有趣的數學(二)神奇的斐波那契數與黃金分割
上篇感受了數學的數字之美: https://big5.backchina.com/blog/302989/article-232730.html
斐波拉契數列的來源及關係
斐波拉契(Fibonacci)數列來源於兔子問題,它有一個遞推關係,
f(0)=1
f(1)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2
{f(n)}即為斐波拉契數列。
這個數列中的每個數字都是前兩項數之和,如果是以1,1開頭的自然數數列,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……這些數字被稱為斐波那契數。同時,這個數列中還暗含著黃金比例,如果用數列中的每一個數字去除它後面的數字,數字越大,結果就越趨近於1.618,也就是我們平常所說的黃金比例。
兔子序列(斐波那契數列)
我們假設兔子在出生兩個月後,就有繁殖能力,一對兔子每個月能生出一對小兔子來。第一個月我們有一對小兔子,如果所有兔子都不死,那麼每個月的兔子對數,就符合斐波那契數列。
每月兔子的總數可以用以下數列表示:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…。義大利數論家奧納多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)在他13世紀初的著作Liber Abaci中最早提出的。如果取數列前兩個元素為1,那麼遞推關係就是:
Fn≡ Fn−2+Fn−1
根據斐波那契數列,可以畫出斐波那契螺旋線,也稱為黃金螺旋線。
斐波那契螺旋與黃金矩型
在植物中隱藏著神秘的斐波那契數列
植物中首先被提及與斐波那契數列有關的是花瓣數。不可否認,確實有一些花的花瓣數目暗合這個數列中的數字。比如梅花、山桃花、蘋果花、山茶花都是5個花瓣;而鳶尾和鴨跖草是典型的有3個花瓣的花(雖然鳶尾的萼片看起來很像花瓣,經常被看成6枚花瓣的花)。
3個花瓣的代表:鴨跖草(上),鳶尾(下),5個花瓣的代表:報春花(中)杏花(右)
在上面斐波那契螺旋與黃金矩型圖形中,中間的兩個小正方形邊長都為1,從這兩個正方形出發,沿著順時針方向畫出一些四分之一扇形,這些扇形的半徑長度就符合斐波那契數列。
把這些螺旋線組合起來,可以構成這樣的圖形。
許多植物構造與斐波那契螺旋線完美結合
數一數從向日葵中心向外延伸的螺旋線,你會發現,它們也與數列有密切聯繫。在有300個小花的向日葵花盤上,可以找到34條左旋的曲線和21條右旋的曲線。更大的花盤能找出更多條螺旋線,但是螺旋線的數目總是斐波那契數。類似的,人們還發現菠蘿和松果的花和種子也是類似的排列,上面的螺旋線有的是8條,有的是13條。34、21、8、13,這些都是斐波那契數。
最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或樹葉。薊、菊花、向日葵、松果、菠蘿……都是按這種方式生長的。如此的原因很簡單:這樣的布局能使植物的生長疏密得當、最充分地利用陽光和空氣,所以很多植物都在億萬年的進化過程中演變成了如今的模樣,每層樹枝的數目也往往構成斐波那契數列。是不是太奇妙了啊!
下面:洋甘菊、紫色金光菊、白菊花
下面:五角星花、綠芯雛菊、葵花籽、勺子菊花
還發現晶體的結構也往往與斐波那契數列有關。下面是幾張來自晶體中的圖案模型。
貝類成長方式形成的對數螺旋線
貝類的這些成長方式是以各種黃金分割比例形成的對數螺旋線,已經成為許多科學研究與藝術研究的課題。
上面是海星
最後告訴大家許多名畫及有名的建築物也與斐波那契螺旋線有關係(篇幅太長,略),以後有時間單獨另寫,再與朋友們分享。
美妙、有趣的數學(三)令人驚嘆的分形藝術之美:https://big5.backchina.com/blog/302989/article-234246.html
轉載請註明
(單張圖片源於網路,最後由筆者編輯、排版而成)
洛游郵樂: 小時候曾對數學很著迷過,再補一下舊夢。謝謝分享。BTW,那個最大的螺旋線圖(黑點組成的)當我上下移動mouse時,圖案視覺上在旋轉。酷!
法道濟: 既然是最合理比例,為什麼人類當中黃金比例的美女少之又少,大部分歪瓜劣棗?