美妙、有趣的数学（二）神奇的斐波那契数与黄金分割
上篇感受了数学的数字之美: https://www.backchina.com/blog/302989/article-232730.html
斐波拉契数列的来源及关系
斐波拉契（Fibonacci）数列来源于兔子问题，它有一个递推关系，
f(0)=1
f(1)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2
{f(n)}即为斐波拉契数列。
这个数列中的每个数字都是前两项数之和，如果是以1，1开头的自然数数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这些数字被称为斐波那契数。同时，这个数列中还暗含着黄金比例，如果用数列中的每一个数字去除它后面的数字，数字越大，结果就越趋近于1.618，也就是我们平常所说的黄金比例。
兔子序列（斐波那契数列）
我们假设兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。第一个月我们有一对小兔子，如果所有兔子都不死，那么每个月的兔子对数，就符合斐波那契数列。
每月兔子的总数可以用以下数列表示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…。意大利数论家奥纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在他13世纪初的著作Liber Abaci中最早提出的。如果取数列前两个元素为1，那么递推关系就是：
Fn≡ Fn−2+Fn−1
根据斐波那契数列，可以画出斐波那契螺旋线，也称为黄金螺旋线。
斐波那契螺旋与黄金矩型
在植物中隐藏着神秘的斐波那契数列
植物中首先被提及与斐波那契数列有关的是花瓣数。不可否认，确实有一些花的花瓣数目暗合这个数列中的数字。比如梅花、山桃花、苹果花、山茶花都是5个花瓣；而鸢尾和鸭跖草是典型的有3个花瓣的花（虽然鸢尾的萼片看起来很像花瓣，经常被看成6枚花瓣的花）。
3个花瓣的代表：鸭跖草（上），鸢尾（下），5个花瓣的代表：报春花（中）杏花（右）
在上面斐波那契螺旋与黄金矩型图形中，中间的两个小正方形边长都为1，从这两个正方形出发，沿着顺时针方向画出一些四分之一扇形，这些扇形的半径长度就符合斐波那契数列。
把这些螺旋线组合起来，可以构成这样的图形。
许多植物构造与斐波那契螺旋线完美结合
数一数从向日葵中心向外延伸的螺旋线，你会发现，它们也与数列有密切联系。在有300个小花的向日葵花盘上，可以找到34条左旋的曲线和21条右旋的曲线。更大的花盘能找出更多条螺旋线，但是螺旋线的数目总是斐波那契数。类似的，人们还发现菠萝和松果的花和种子也是类似的排列，上面的螺旋线有的是8条，有的是13条。34、21、8、13，这些都是斐波那契数。
最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或树叶。蓟、菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的。如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样,每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列。是不是太奇妙了啊！
下面：洋甘菊、紫色金光菊、白菊花
下面：五角星花、绿芯雏菊、葵花籽、勺子菊花
还发现晶体的结构也往往与斐波那契数列有关。下面是几张来自晶体中的图案模型。
贝类成长方式形成的对数螺旋线
贝类的这些成长方式是以各种黄金分割比例形成的对数螺旋线，已经成为许多科学研究与艺术研究的课题。
上面是海星
最后告诉大家许多名画及有名的建筑物也与斐波那契螺旋线有关系（篇幅太长，略），以后有时间单独另写，再与朋友们分享。
美妙、有趣的数学（三）令人惊叹的分形艺术之美：https://www.backchina.com/blog/302989/article-234246.html
转载请注明
（单张图片源于网络，最后由笔者编辑、排版而成）
