高考動圖：數學篇

馬甲與小號 發表於  昨天15:29

　　又到一年高考時，考完語文大家熱烈討論一番作文題，下午一考數學就沒人說話了？沒關係，讓動圖幫你回憶高考數學吧~

　　（好消息是，相比其他動圖，數學動圖比較不費流量）

　　橢圓為何是橢圓

　　「橢圓」是什麼？小時候，我將它直觀地理解成一個「壓扁」或「拉長」的圓。因此，當我第一次在解析幾何課本中看到橢圓的定義的時候，感覺世界觀被顛覆了：平面上到兩個定點的距離之和為一定值的點的軌跡……這是什麼鬼？

　　接下來，課本就從這個定義出發，推出了橢圓的方程：我們熟悉的

　　

　　。這個方程和圓的方程很像，非常符合「拉長的圓」的感覺。方程推出來，自然是對的，但推導的過程不太直觀，結果也有點反直覺。我還是會問自己：為什麼會這樣呢？

　　直到我看到了一張類似這樣的圖片（當然，當年看到的不是動圖）：

　　

　　圖片來源：Zachary Abel's Math Blog

　　怎樣得到一個「拉長的圓」？很簡單，找一個圓柱體，然後斜著一刀切下去。接下來，我們從斜面的上方和下方分別塞進一個球，它們與圓柱相切，同時也與截面相切。我們把球與截面相切的兩個點分別記作F1和F2——這兩個點也就是橢圓的兩個焦點。於是，如圖，由於F1X和AX是X這個點到藍色球的兩條切線，因此它們的長度也相等。同理，XF2=XB。因此，F1X+XF2=AX+XB=AB，而AB的長度是一個定值。就這樣，我們把課本上橢圓的定義和「拉長圓」的直覺理解聯繫了起來。

　　而且，如果把這裡的圓柱換成圓錐，這一點也同樣成立：

　　

　　圖片來源：Zachary Abel's Math Blog

　　不過當然，圓錐的截面變化就更多了。在酷炫動圖（十三）：數學篇中已經提到，隨著角度變化，在圓錐上可以截出圓、拋物線、雙曲線、兩條相交的直線、兩條重合的直接，甚至縮成一個點。因此，橢圓、拋物線和雙曲線都被稱為圓錐曲線。

　　

　　圖片來源：mathgifs

　　光線與焦點

　　上高中時，我們沒少對著橢圓做計算，而它的光學性質也很有趣：如果從橢圓的一個焦點發出光線，再經過橢圓的反射，最終光線還會匯聚到橢圓的另一個焦點上。當然，把光換成聲波、小球或是別的什麼東西也可以。

　　

　　圖片來源：MathGifs

　　在圖中我們還可以看到：這些小球同時以同樣的速度向不同的方向出發，又同時匯聚在另一個焦點。這說明它們走過的路程是一樣的。為什麼？想想橢圓的定義吧。

　　別的圓錐曲線也有獨特的光學性質。比如說，從雙曲線的一個焦點處發出的光線，經過雙曲線的反射后，看起來會像是從雙曲線的另一個焦點發出來的一樣。再比如說拋物線，在它的一個焦點處發出的光線經反射後會變成平行線：

　　

　　圖片來源：MathGifs

　　把拋物線繞對稱軸旋轉一圈，我們就得到了拋物面。這個拋物面也有同樣的光學性質，於是我們就可以用它來把平行的光線匯聚到一點，或者把從一點發出的光線變成平行光。這個性質被應用在天線、望遠鏡、話筒、燈光設備等各種不同的地方。奧運的聖火也是通過拋物面匯聚的太陽光來點燃的：

　　

　　希臘演員Eleni Menegaki點燃2010年青年奧運會聖火。圖片來源：Wiki Commons

　　球體切片

　　還記得課本上是怎樣推導球的體積公式的嗎？一個常見的方法是祖暅（gèng）原理，下面的動圖解釋的就是它：

　　

　　

　　

　　圖片來源：Hyrodium's Graphical MathLand

　　祖暅原理，在西方叫卡瓦列里原理（Principio di Cavalieri）。它說的是如果兩個幾何體在每一個相同高度處的截面積都相同，則它們的體積也相同。從上面的圖中可以看出，如果把底面半徑為r、高為2r的圓柱體挖去兩個高為r的圓錐，再把剩餘部分與半徑為r的球體進行逐層比較，可以發現二者在每個高度上的截面積都是相等的。這樣一來，用圓柱和圓錐的體積公式就可以推出球體積公式了：

　　

　　。

　　學過高等數學的同學可能會發現：這不就是說二重積分能夠通過逐次積分來計算嗎？的確，這可以看成是微積分的一個「前奏」。在17世紀上半葉，義大利數學家卡瓦列里提出了這條原理，並用它計算了一系列幾何體的體積，而在17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茲發明了微積分。

　　祖暅提出同樣的原理是在公元5世紀，比卡瓦列里早了一千多年。祖暅是祖沖之的兒子，他是在求球的體積公式的過程中提出這條原理的。但他還不是第一個算出球體積公式的人。早在公元前3世紀，古希臘的阿基米德就給出了球的體積公式。他用一種奇妙的力學方法，算出半徑為r的球體積是半徑為r、高為2r圓柱體積的三分之二，並用窮竭法給出了證明。阿基米德的方法已經有了微積分思想的雛形，不過沒有用上祖暅原理。

　　阿基米德的成果並沒有傳到中國。早期的中國數學家也研究過球的體積，但沒能得到正確的結果。到了南北朝時期，祖暅終於提出了這條重要的原理：「冪勢既同，則積不容異」。

　　祖沖之、祖暅父子在這條原理的基礎上，還得到了「牟合方蓋」的體積公式。咦？牟合方蓋是啥？

　　

　　​圖片來源：Wiki Commons 作者：Van helsing

　　如上圖，把兩根半徑相等的圓柱垂直地拼在一起，它們的公共部分就是「牟合方蓋」了。古人給幾何體起的名字，在今天看來往往會有些奇怪，不過在高考考場上你還真有可能遇到它們，比如2015年湖北高考題就出現了「陽馬」和「鱉臑」。

　　餘弦定理的無字證明

　　餘弦定理是勾股定理的推廣。它和勾股定理一樣，都有著很多不同的證明。數學證明是一件非常美妙的事情。不過，證明長了，讀起來未免有些枯燥。相比之下，簡短巧妙的無字證明就顯得格外具有美感。下圖就是餘弦定理的一個無字證明：

　　

　　圖片來源：Wiki Commons 作者：HB

　　看明白這個證明要花一點功夫，在這裡我就先不剝奪讀者思考的樂趣了。

　　我沒能查到這個證明的作者。它的靈感應該是來自歐幾里得所給的勾股定理的證明。《幾何原本》中第一卷的第47個命題便是勾股定理。只要把動圖中的∠ACB改成直角，得到的就是《幾何原本》上的證明：

　　

　　《欽定四庫全書》版《幾何原本》上的插圖。來源：中國哲學書電子化計劃

　　想看更多經典的無字證明，可以點這裡：盤點數學里十大不需要語言的證明

　　楊輝三角

　　把(x+y)n這樣的多項式展開，它各項的係數稱為二項式係數。把所有的二項式係數排成一個三角形，得到的就是楊輝三角了。

　　

　　圖片來源：Wiki Commons 作者：Hersfold

　　楊輝三角有很多有趣的性質，圖中顯示的大概是其中最重要的一條：三角形中的每個數都是其上方的兩個數之和。有了這條性質，我們能輕鬆地畫出楊輝三角：先畫出左右兩邊的1，然後按這條性質填上中間的數字。

　　楊輝三角畫法簡單，其背後的二項式定理又是一條極為重要的定理。不難想象，它會在歷史上由許多不同年代、不同國家的數學家獨立發現，並被冠以許多不同的名字。美國統計學家斯蒂芬·斯蒂格勒（Stephen Stigler），提出過一條「定律」：沒有哪條科學發現是由它真正的發現者來命名的。這當然只是玩笑，不過楊輝三角確實給它提供了一個切實的例子：

　　它在西方被稱為帕斯卡三角（Pascal's triangle）。在1653年，法國數學家帕斯卡在他的論文《Traité du triangle arithmétique》中提出了這個三角形。

　　不過，義大利人把它稱為塔塔利亞三角（Triangolo di Tartaglia），因為義大利數學家塔塔利亞早在16世紀就發現了它——順便提一句，塔塔利亞發明的一元三次方程求根公式被稱為卡當公式，這是Stigler定律的另一個例子……

　　而在中國，它最常用的名字是楊輝三角。楊輝本人並沒有發現這個三角，只是在自己的《詳解九章算術》一書中引用了賈憲的工作。賈憲是北宋人，活躍在11世紀，不過他的著作沒有流傳下來。

　　在伊朗，人們又把它叫做海亞姆三角，紀念的是11世紀波斯數學家、詩人歐瑪爾·海亞姆（Omar Khayyám）。海亞姆作出這個發現的年代與賈憲差不多，可能要略晚一些。

　　不過，無論是賈憲還是海亞姆都不是真正的第一個發現者。早在10世紀，印度數學家Halayudha就發現了這個三角形。幸好，Halayudha將其命名為Meru-prastaara，意為「須彌山的階梯」。這個名字被印度人沿用至今，成功地避開了Stigler定律的詛咒。

　　有意思的是，Stephen Stigler 本人也不是第一個提出Stigler定律的人（說明這個定律非常科學……）。更多閱讀：別激動，這個定律早被人發現了

　　最後，再送上另一張動圖：

　　

　　圖片來源：Wiki Commons 作者：Juanmacuevas

　　這個像素風動畫其實也是楊輝三角，只不過把三角形里的每個數寫成了二進位。確切地說，動圖的每一幀代表楊輝三角的一行，每一列代表一個數，黃色代表1，黑色代表0，最下面是個位，越往上代表越高的位數。

　　（編輯：窗敲雨）

　　題圖來源：123rf.com.cn正版圖片庫