數學家王元談菲爾茨獎獲得者陶哲軒的工作

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《科學時報》記者 王丹紅

新聞背景：
2004年4月18日，兩位年輕的數學家在預印本網站(arXiv:math)貼出一篇50頁的論文，宣稱證明了「存在任意長的素數等差數列」。一個月之後，2004年5月21日出版的美國《科學》雜誌發表文章指出：這是一項驚天成就。而且，儘管論文尚未正式發表，但當年出版的由俄羅斯數學家馬寧等著的《現代數論導引》一書就引用了該論文的結果。

這是個「一步登天」的傑作。

1939年，數學家證明：有無窮多個由3個素數組成的等差數列。時隔半個世紀后，2002年，這兩位年輕的數學家提出更大膽的設想，希望證明由4個素數組成的等差數列也有無窮多。但證明的結果卻出乎意料：由素數構成的等差數列可以任意長。有人認為這是一個「大躍進」；而有人認為：「這簡直嚇人！」

2005年1月，美國《發現》雜誌將這項證明列入「2004年度最重要的100項科學發現之一」。

2006年8月28日，在西班牙首都馬德里舉行的國際數學家大會的開幕式上，國際數學聯盟主席約翰·鮑爾宣布：陶哲軒和俄羅斯人佩雷爾曼、美國普林斯頓大學的歐克恩科夫、法國巴黎第十一大學的沃納共同獲得菲爾茨獎。頃刻間，他們成為數學界的英雄，而對陶哲軒來說，這一天則更為特殊，因為在這一天：美國加州大學洛杉磯分校發布新聞公告稱：陶哲軒成為該校第一位獲得有「數學諾貝爾獎」之稱的菲爾茨獎的數學家；澳大利亞數學科學研究院發布新聞公告稱：陶哲軒是第一位榮獲崇高的菲爾茨獎的澳大利亞人；在中文世界的媒體上，陶哲軒則被歡呼成繼丘成桐之後第二位榮獲菲爾茨獎的華裔數學家。


「陶哲軒是作出最偉大成就的最好數學家之一，這個全世界都知道；但很少有人知道，他的這項工作與中國有關，因為他的論文里引用了中國人在40年前的工作——陳氏定理，也就是陳景潤『1＋2』的論文。這表明中國與世界上最重要、最尖端的成就有關係。」

「今天不談龐加萊猜想，我對龐加萊猜想的意見已經在6月8日新華社記者的訪談中講得很清楚了，我的態度是：我是研究數論的，我不懂龐加萊猜想這個幾何問題，我沒有資格評價這個工作的好壞，國內也沒有人能評價，但在感覺上，朱熹平和曹懷東兩人做得很不錯。今天我給你談談華裔數學家陶哲軒獲得菲爾茨獎的其中一項重要工作，這個事情與中國有關係。」

2006年8月28日上午，在中國科學院數學與系統科學研究院辦公室，王元在接受《科學時報》記者採訪時如是說。

「陶哲軒究竟做了什麼東西有這麼偉大呢？我是這方面的專家，我給你講講，他和合作者證明了存在任意長的素數等差序列，而且有無窮多組。任意長素數等差序列的問題比龐加萊猜想要容易懂一些，但它的證明不見得比龐加萊猜想的證明更容易懂。陶哲軒和格林的工作是關於素數的，我這輩子是做素數，因此，我可以解釋這個結果，公眾是聽得懂這個問題的，這也是數學的科普。」

「大家都知道他得了菲爾茨獎 但極少有人知道他做了什麼」

2004年4月18日，兩位年輕的數學家在預印本網站貼出一篇50頁的論文，宣稱證明了「存在任意長的素數等差數列」；其中一位是加拿大不列顛哥倫比亞大學的本·格林（Ben Green），另一位是美國加州大學洛杉磯分校（UCLA）的陶哲軒。

早在1年多前，王元就注意到了陶哲軒和格林的這篇文章，「我根本想不到還能證明這個偉大的問題」，並不止一次地鼓勵優秀的年輕人去讀這篇文章。他說，「無論如何，陶今天已經是一個明星了，在國內大家都知道他獲得了菲爾茨獎，但絕大多數人包括數論學家在內，極少有人知道他的這項偉大證明究竟講的是什麼，以及這項工作與中國數學家的關係。」

實際上，張貼這篇論文的網站與俄羅斯數學家佩雷爾曼在2002年11月公布解決龐加萊猜想的論文所張貼的網站是一樣的；不同的是，佩雷爾曼的論文給出的是解決猜想的概要，而這篇論文給出的是猜想的完整證明；在2006年8月22日舉行的國際數學家大會上，佩雷爾曼和陶哲軒同時獲得菲爾茨獎，但佩雷爾曼拒絕了作1個小時大會報告的邀請，陶哲軒則作了1小時的大會報告，介紹任意長素數等差數列的證明。

王元說，這兩項突破都是極端拔尖的，在菲爾茨獎的工作中也是非常突出的，今年的菲爾茨獎有4位獲得者，佩雷爾曼和陶哲軒應邀作的是1小時大會報告，另外2位應邀作的是45分鐘報告，由此可見差別。

但王元遺憾地對《科學時報》記者說：「在今年3月19日和3月24日紀念陳景潤逝世十周年的兩次會上，我都講了陶哲軒在一篇很好的、可能得到菲爾茨獎的論文中引用了陳景潤的論文，這是真憑實據，可以認為中國與世界上最重要、最尖端的成就有關係，這是真正非常重要的，可是你們在報道中都沒有提到我的這個講話，你們沒有意識到它的重要性。」


[B]陶哲軒與格林的證明講的是什麼東西？為什麼那麼重要呢？它與中國數學家的關係是什麼呢？[/B]

「我不敢想象 天下會有這樣偉大的成就」

什麼是素數呢？素數是指自然數中大於1且只能被1和自身整除的數，整數可以由素數的乘積表示出來，而且這個表示是唯一的。王元說，素數是數學中最根本的東西，它好像是整數里的一個磚，因此，研究清楚素數的問題非常重要，但是要從素數中得出一條定理是極為困難的。

研究整數性質的數學被稱為「數論」，素數性質的研究是數論中最古老與最基本的話題之一，早在公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里德就已經證明素數有無窮多個。2004年，陶哲軒和格林證明了素數構成的等差數列可以任意長。王元說：「我不敢想象天下會有這樣偉大的成就。」為什麼這樣講呢？

等差數列是指一組數列中前後兩個數之差為恆定常數的數列，由素數構成的等差數列就是素數等差數列，比如3、5、7，就是由3個素數構成的等差數列。王元說，早在很久以前，數學家們就認為由素數構成的等差數列可能任意長。1939年，荷蘭數學家Johannes van der corput證明：有無窮多個由3個素數構成的等差數列。2002年，陶哲軒和格林想證明，由4個素數構成的等差數列的數目是不是也無窮多？

「但是，他們得到的結果幾乎是一個不能想象的偉大成就，他們證明由素數構成的等差數列可以任意長，而且有任意多組。4個數的素數等差數列可以有無窮多個的猜想都還沒有證明，他們一下就跳這麼遠。」王元說，「為什麼這樣講呢？目前在最先進的計算機上發現的最長的素數等差數列是23，也就是說是由23個素數構成一個等差數列，這已經是一個很驚人的數字了，你可以把這個數列在報紙上抄給公眾看看，第一項是素數56211383760397，公差是44546738095860，所以，第23個素數是首項加公差乘以22，這已經是一個複雜得不得了的問題了，而他們推出的是這個數列的長度可以是任意的，也就是說，對於任意值K（比如1億），存在K個素數等差級數列，K是100億也可以，這簡直嚇人。而且，即使目前最好的計算機也無法找出超過23個數的素數等差數列，因此這個猜想只能用數學方法來證明。」

陶哲軒是天才嗎？王元說：「他當然是個天才，而且是難得的天才，是幾十年都遇不到的一個大天才，他的論文中提到了中國人的工作，說明我們中國人在數學上並不是很差的。」

「這篇論文引用了陳景潤的工作」

陶哲軒和格林證明的是「存在任意長度的素數等差數列」，這項工作與陳景潤的工作有什麼關係呢？

「他們的論文中引用了陳景潤的文章，這表明認為中國與世界上最重要、最尖端的成就有關係是有真憑實據的。」王元說，「陶哲軒是做出最大成就的最好的數學家之一，這個全世界都知道，他的論文中引用了陳景潤40年前所做的工作。陳景潤偉大在什麼地方呢？這麼偉大的工作都引用了他的文章，怎麼不重要？這可比徐遲的《哥德巴赫猜想》不知要重要多少倍。」

他講述了陳景潤的工作與陶哲軒工作間的關係。

1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫致信瑞士數學家歐拉，提出兩個猜想：（1）任何一個大於2的偶數都是兩個素數之和（表為1＋1）；（2）任何大於5的奇數都是3個素數之和。同年6月30日，歐拉回信表示相信哥德巴赫猜想是對的，但他不能加以證明，容易證明（2）是（1）的推論，所以（1）是最基本的。

哥德巴赫猜想貌似簡單，要證明它卻實在不易，成為數學中一個著名的難題。在1900年的國際數學家大會上，德國數學家希爾伯特將哥德巴赫猜想看成是以往遺留的最重要的問題之一，並介紹給20世紀的數學家解決；在1921年的一個國際數學大會上，英國數學家哈代認為，猜想（1）的困難程度可以和任何沒有解決的數學問題相比。

從18世紀開始，數學家們前赴後繼，努力用多種方法推進這項工作。在多位數學家成就的基礎上經過多年潛心研究后，1966年5月，我國數學家陳景潤在《科學通報》上發布了「1＋2」證明的摘要，這篇論文的完整證明發表在1973年的第二期《中國科學》上，在國際數學界引起轟動，並將之命名為「陳氏定理」。王元說：「這是迄今為止世界上關於哥德巴赫猜想（1）最好的成果，無人超越。」

陶哲軒和格林在2004年的論文中引用了「陳氏定理」。中科院晨興數學中心的田野教授告訴王元：「最近陶哲軒到加拿大蒙特利爾大學作演講，我去聽了，他在黑板上寫下了陳景潤的兩個定理，一個是1＋2的定理，另一個是孿生素數對應於1＋2的定理。」王元認為，由此可見陶哲軒對陳景潤的尊重。

「在陳景潤證明『1＋2』之後40年，他的工作還與世界上最偉大、最頂尖的工作聯繫在一起，這就是他工作重要性的一個最好證明。」

「我希望 中國的青年人能夠向他學習」

王元今年76歲，陶哲軒31歲，兩人至今沒有會過面。但王元在一年多前讀到陶哲軒的這篇素數論文後，認為非常重要，「到處向數論學家推薦，也不止一次鼓勵優秀的年輕人去讀這篇論文」。

他說，「現在，我們準備在晨興數學中心搞一個研究班，專門讀他的論文，晨興數學中心近十年來一直將數論作為首要支持項目，丘成桐、楊樂、張壽武等始終支持，對這個項目更多次熱情地表示支持。這樣我們就可以跟蹤世界上最前沿的東西，假如我身體好的話，我會親自參加，我會給大家作一個公共報告，講這個猜想是怎麼回事，與過去猜想有什麼關係，也就是說它的來龍去脈。」

陶哲軒工作的重要性在什麼地方呢？王元說：「你不能問這樣的工作有什麼重要性，就像不能講龐加萊猜想和哥德巴赫猜想有什麼重要性一樣，這些猜想最重要的地方是它們帶動或由此創造了很多數學的方法和思想，因為證明這些猜想需要用新工具或新方法。我之所以還沒有搞清楚陶哲軒這個證明的詳細情況，不清楚它的整個結構，就是因為它用的不是過去的老方法，我們現在要當學生來學習他的東西。假如我們連他們的東西都學不會，也弄不清所以然的話，那麼我們這裡就夠不上是一個很好的數論組。」「已經有年輕人經過一年多努力，基本上弄清楚了陶哲軒和格林的論文的細節。」

「陶哲軒的工作最重要的地方是用了新方法，佩雷爾曼工作的重要性也在於他用了新方法。我現在動員大家來學陶哲軒的東西，學習要靠年輕人，我希望中國的青年人能夠向他學習。」

談到對學習數學的青年學生的期望，王元說：「在中國現階段，[COLOR="Red"][SIZE="4"]最要緊的是大家要將名利思想看得淡泊一點，要誠信，不能有絲毫的作假，尤其不能自己欺騙自己，個人的品質是最重要的。[/SIZE][/COLOR]」  [/COLOR][/SIZE]

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引用 [COLOR="Red"]" 王元說：「在中國現階段，最要緊的是大家要將名利思想看得淡泊一點，要誠信，不能有絲毫的作假，尤其不能自己欺騙自己，個人的品質是最重要的。」 "[/COLOR]

    每次看到這樣的文章，總感覺又有一位德高望重的老爺爺苦口婆心的告訴「小學生」要老老實實做人。
   我認為，「名利思想淡泊一點」是一句空話，沒有一點現實的意義，反倒有不少誤導的意味。從改革開放以來，有多少青年俊傑在還沒有成熟的時候遭遇現實的挫折或痛苦放棄、或隨波逐流。最重要的，我認為是合作的精神、合作的態度、合作的技巧。中國人聰明，毫無疑問；但是，在這個聰明人的環境里，卻沒有科學的發展出的溝通的技巧、交流的技巧、合作的技巧、表達的技巧、等等來教育年輕的一代。新中國成立已經67年了，為什麼總還停留在「苦口婆心」的階段？！不能不使人感嘆！