從棉簽盒中取走一部分棉簽，為什麼剩餘的棉簽會以呈螺旋狀排列？生活中還有哪些這樣的事情？

作者：好大的風
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這個東西叫做單葉雙曲面：

（圖片來源：Hyperboloid）


其實這個方程是能推導出來的。題主問的是為什麼會形成這個形狀，那麼我們就來歸納一下棉簽到底處於什麼樣的條件。

首先對於單根的棉簽而言，不難理解受到重力作用下滑，最終兩端都在棉簽桶的壁上。而對於多根棉簽而言，由於他們的粗細和長度都相同，因此這裡存在了兩個約束條件：
1. 它們頂點和底端都在一個圓上。
2. 緊鄰的兩根棉簽距離相同（也就是這個圓上的圓心角差距相同）。


評論區有不少同學表示推導出這兩點約束才是重點，那麼我簡單的解釋一下：

1. 在滿棉簽的情況下，棉簽互相支撐，都是站立起來的。
2. 用掉一部分之後，出現了空隙，因此重力作用下部分棉簽會倒掉，並且引發連鎖效應。
3. 由於桶壁和桶底是光滑的，那麼（外圍的）棉簽最終穩定狀態一定是斜靠的狀態，也就是底端都在桶底邊緣的那個圓上，頂端也都在桶壁上，相比於直立狀態這樣的重心低，更穩定。
4. 處於能量最低，也就是重心最低的原理，每根棉簽會趨向於在底面的投影佔據直徑的位置。

這四點沒問題吧。事實上考慮到粗細和摩擦其實上端是有可能不接觸桶壁的，不過這並不影響。

5. 如果棉簽沒有粗細，那麼最終每一根的投影都是一條直徑，最終的圖像是兩個圓錐。而考慮到粗細，實際上投影不會經過圓心。那麼最終穩定的形式如下：

一個符合直覺的結論就是，在半高處，每一根棉簽都會緊密相連，截面上的橢圓互相相切。此時棉簽離圓心最近，傾斜角最大，能量最低。
注意這一條可以得出下面推導時候的前提，也就是每一根棉簽旋轉的角度相同是等價的。事實上旋轉角度相同的條件更弱一些，並不需要能量最低，只要每一根能量相同即可。

實際上如果為了嚴謹，這一點應該也是要證明的，不過顯然很麻煩。大致寫一下思路：
1. 設每一根棉簽的長度是L，半徑是R。
2. 第一根棉簽底端在(cosA1,sinA1,0)處，頂點在(cosB1,sinB1,z1)處。方程為L1(x,y,z)。外表面是距離L1這條之間R距離的一個面，F1(x,y,z)。
3. 假設數字小的在數字大的下面壓著。
那麼這個問題就變化成了：
在Fi和Fi+1相切的前提下，求∑zi的最小值（也就是重力勢能總合的最小值）。

接下來是承認以上約束的前提下的，粗糙的數學推導：

隨便找一根棉簽，假設它上下的坐標分別是：
（cosA, sinA, 1）和（cosB, sinB, -1）
這裡假設了這個圓半徑是1，棉簽自然垂落的高度是2。具體數字並不影響最終形式，只是為了方便推導。

那麼緊跟著它的一根棉簽，旋轉了一個小角度x，上下坐標就應該是：
（cos（A+x）, sin（A+x）, 1）和（cos（B+x）, sin（B+x）, -1）

那麼：
1. 兩點可以確定一條直線。
2. 這條直線對於任意x成立，確定一條面。

於是我沒事幹推導了一下……

假設B等於0，就是選一個特殊的起始點咯，然後第一個推導是兩點的直線方程。後面暫時用K代替簡化計算。
第二個推導就是把x和y分別弄出來。
第三個推導就是暴力運算了。
第四個推導只是把形式變得好看，類似於下面這個：


也就是單葉雙曲面的方程。

最後，你們要的廣州塔……

（圖片來源：wikipedia.org 的頁面