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求解GOLDBACH猜想【1+1】
[摘 要]:去繁從簡，突破傳統，另劈溪徑，尋求新法。
[關鍵詞]：數學模型
韓奮生
導言
GOLDBACH猜想貌似簡單，美麗迷人，宛若沐浴在春風裡的花朵，觸之，如帶刺的玫瑰，進入，如無敵的迷宮，消磨你的生命，吞咽你的智慧。僅以此文獻給250多年來向GOLDBACH猜想挑戰的數學同仁，無論是逝去的還是健在的，是大師級的還是無名小卒 。
前言
園法或篩法用於GOLDBACH猜想的證明已經發揮盡致，難以有所建樹，我們試圖跳出這種束縛另劈一條蹊徑來驗證GOLDBACH猜想的真偽，誰又敢說不可能呢，再來一個250年又有何妨。
一，素論中幾個最重要的定理及其應用
1算術基本定理：大於1的任意自然數N都可表成可用來證明素數有無窮個，是素論最基本的定理，但回答不了素數分佈問題。
2素數定理：目前為止表述素數分佈最好的定理，主要用於素數的量化計算，素數計數函數在量化計算中經常被近似表達成（當N≥時）
3佰特蘭-切比雪夫定理：表面看是判定大於自然數1的N與2N間必存在素數的定理，實質上是在N與2N之間深刻表述了素數分佈的定理。在研究素數分佈方面可與素數定理並駕齊驅，尤其在建立某種數學模型時，素數定理難望其頸背，兩個定理各表千秋，在證明GOLDBACH猜想【1+1】的道路上將發揮巨大的作用。
4陳氏定理；GOIDBACH猜想有史以來最靠近【1+1】的證明，也是園法，篩法這種手段被發揮到極限的證明，沒有任何一種工具是萬能的。由於園法篩法自身的缺陷，用來完成對GOLDBACH猜想【1+1】的證明難度很大，在沒有改進之前幾乎不可能。我們要尋找一種新的變法，就是數學模型。
後面將會看到用數學模型來驗證陳氏定理。
二，準備
我們首先從證明佰蘭特-切比雪夫定理開始，因為它是建立我們要做的數學模型最重要的基石。
佰蘭特-切比雪夫定理：任一大於1的自然數
N與2N之間必存在素數。
1， 令下列代數式等價：，用的展開式考察（n 2n）中的素數分佈【貌似斷定有無素數，實事研究素數分佈】。顯然，當n≤k≤2n時，；。。。 。
2.推理⑴：。證明：因為 的素數都在（2k+1）！中，而不在【k+1】！中或【K】!中，於是，是的數因子。即可整除,.同時，又有,於是，就有..
3.定理1：。對於小於n的正整數，上式都成立。若n是偶數時，。當n是奇數時，令n=2k+1，從推理（1）和數學歸納法可得：
4.定理2：設n是大於1的自然數，P是素數，S為最大的正整數使得,那麼。
5.推理⑵：設P為之中的素數，為最大的正整數，使得整除，那麼，就有。.於是，就有三個結果：（ⅰ），（ⅱ）若,則.（ⅲ）若則（因為2n！中只有2個P,在n！中恰有一個P）.
6.反證法：設沒有素數P能滿足下列不等式就會發生下列事件：.將上式兩個數因子稍加處理，即得下列不等式。所以，就有下列不等式，化簡，並設x=，得下列不等式。X㏑2-3㏑x<0，顯然x≥16，即n≥128時，此式不成立。與白蘭特-切比雪夫定理發生衝突，也即白蘭特-切比雪夫定理是正確的。同理可證n<128時，切比雪夫定理是正確的。
三 創建模型
1，在平面直角座標系中，過點[1，1]作奇數軸線平行與ox軸，正方向與ox軸同向，過點[1，1]作自然數軸線並與奇數軸線構成夾角G=35-50度，正方向為遠離[1, 1]點的方向。如下圖⑴ 2，
設你能想像到的足夠大的最大的素數為P（素數無窮），令P=2N-1，在自然數軸和奇數軸上分別標出2N,N,P；[2N-1]（P）各點的位置。並連接PP兩點，如下圖⑵.
3,幾個定義：
（ⅰ）素數P的PP線的定義：素數P在自然數軸上的點和在奇數軸上的點的連線，我們稱它為素數P的PP線，記作P∥。每個素數都有它的PP線。
（ⅱ）素數P的平行線的定義：過自然數軸上的素數P點作平行於奇數軸的平行線，我們稱它為素數P的平行線，記作P_。 每個素數P都有它的平行線。
（ⅲ）素數P的等差數列的定義：由不大於素數P的奇數按自然序列排列的數列被定義為素數P的等差數列，該數列的公差為2，最小數為1，最大數為P。組成數列的元素共有項。每個素數P都有它的等差數列。
（ⅳ）素數P的等比數列的定義：僅由個素數P組成的數列被定義為素數P的等比數列，該數列公比為1。每個素數P都有它的等比數列。
（ⅴ）奇合數{對於素數}的平行線的定義：過自然數軸奇合數點作平行於奇數軸的平行線被定義為該奇合數的平行線。每個奇合數都有它的平行線。
（ⅵ）常用符號的說明：為了辟免混亂，本論述中常用符號如i，j，k，t，q，r，s等僅代表奇數（即=1,3,5,7…）,與奇數的自然序列相同，數量上與被標示的自然數相等，即i<j<k<t<q<r<s=（1,3,5,7，…）.當被表示的奇數是素數時，在該數的左上方加P。如i=3，j=11，被寫成P3，P11.同理，使用其它符號。
四，在模型上尋突破
1. 素數P的等差數列如下：
1,3,5,7…P,共有個元素。——————（A）
2. 素數P的等比數列如下：
P,P,P,P…P,共有個元素。——————（B）讓（A）與（B）逐項相加，我們得到下列等差數列：N=[P+1]/2；N+1=[P+3]/2；N+2=[P+5]/2，N+3=[P+7]； …N+i=[P+{2i+1]/2；N+j=[P+{2j+1}…N+k=[P+{2k+1}]/2,…,N+s=[P+{2s+1}]/2,…,P=[P+P]/2. ---------------------------------（C）
3.結果： 這個公差為1的等差數列實際上是從N到P{即區域[N P]},由[P+1]/2個自然數組成的【也即N個自然數】。將這[P+1]/2個自然數的表達式按共性分類，可分成兩類：
一類表達式為N+i=【素數+素數】/2結構，【即GOLDBACH猜想關係成立】；
另一類為N+s=【素數+奇合數】/2結構。【即GOLDBACH猜想關係不成立】
其中：N+i=【素數+素數】/2結構的個數不少於2N/（㏑2N）項。那麼，有{N-[2N/㏑2N]}項即被表達成N+s=【素數+奇合數】/2結構.
4.研討：這個結論和陳氏定理相近，但表達的方式不一樣，陳氏定理是給定大偶數情況下，以素數P為自變量研究大偶數被分割后的分佈結果，簡單表述成函數關係就是：素數或奇合數=X[常數]-P.統計出滿足上式關係的素數P的個數。並確立了素數按【1+2】的動態分佈形式。
我們目前的結果是：給定大素數P的情況下【也即給出一個大偶數，因為大素數P=大偶數[2N]-1,和陳氏定理的命題條件相同】。調動不超過大偶數2N的所有素數，來構造出有多少個自然數n上能確立GOIDBACH猜想關係【即滿足2n=素數+素數】。從上面的結果看，在【N 2N】的區域里{因為等差數列（C）各項≮N,其結果只反映到【N 2N】,涉及不到【3 N】}，我們只實現了[2N/㏑2N]個結果，還有{N-[2N/㏑2N個自然數未實現。
我們的目標是任意自然數n在[3 2N]的區域里都可滿足2n=【素數+素數】。並能找出素數分佈的某種規律，否則，證明就是失敗的。
以上這些結果解析到平面模型上如圖⑶。圖⑶中，過自然數軸上每個素數如Pi點作該素數的平行線Pi＿，相交於大素數P的PP線，焦點記作Gi，G為GOIDBACH的首寫字母，我們叫它GOLDBACH點，這個點對應的自然數為{N+[i-1]/2}=1/2[Pi+P],在這個自然數上，GOLDBACH猜想關係成立。同理，可作出Pj＿，Pk＿。與大素數P的P∥焦點分別為Gj，Gk。對應的自然數分別爲{N+[j-1]/2}=1/2[Pj+P],{N+[k-1]/2}=1/2[Pk+P] .同理，還可分別作出奇合數q，r，s的q＿，r＿，s＿。他們與大素數P的P∥焦點分別記作Q,R,S.對應的自然數分別爲{N+[q-1]/2}=1/2[q+P]，{N+[r-1]/2}=1/2[r+P]，{N+[s-1]/2}=1/2[s+P]，在這些自然數上，GOLDBACH關係不成立。我們稱它們為非GOLDBACH點。
我們對比GOLDBACH點和非GOLDBACH點的區別是：來源於自然數軸上的平行線是素數引起的，與P∥的焦點就是GOLDBACH點；是非素數引起的，與P∥的焦點是非GOLDBACH點。這點得勞勞記住。在數模上能大大減少證明GOLDBACH猜想【1+1】的工作量。並很少發生失誤。
圖⑶中，我們做了【2N/㏑2N】條素數的平行線。做了【N-[2N/㏑2N]】根奇合數的平行線。
【N 2N】區域里，根據佰蘭特-切比雪夫定理的展開式，還可做{[N/㏑N]-1}條素數P的PP線[P∥].增加和素數P的平行線焦點的數量，因為我們從圖⑶知道只有這兩種線的交叉點對應的自然數上，GOLDBACH猜想【1+1】才會實現。這確實是個好辦法，我們繼續工作下去。
但是這樣作還是不能解決剩餘的【N-[2N/㏑2N]】個非GOLDBACH點全部轉化為GOLDBACH點。因為總是在某些地方會發生非GOLDBACH點遺落。見圖⑷，這些薄弱環節都要在改進數學模型上想辦法。轉化方法及證明見【陳氏定理的證明】。
圖⑶給出我們大量可閱讀的信息，可以看到，大素數P的PP線工作區間正好是【N 2N】，它向分水嶺一樣將我們驅趕到大偶數[2N]以下工作，因為自然數是無盡的，討論這類問題首先得把無限變成有限，否則你就無法討論。必須設一個大素數出來，既然這個大素數被設定出來，所有討論就被限定，被限定的區域未搞清之前，再開新域，是徒勞無益的，所以說前面是萬丈懸崖，無路可走。
剛接觸到實質問題，等差數列（C）就把我們帶到【N 2N】區間，【因為等差數列（C）的各項≮N】。在這個區間上，我們用掉了所有的素數資源和手段，結果是陷入這個泥潭不可自拔。即使你證明了【3 N】中的所有自然數都滿足GOLDBACH猜想，也是失敗的。因為局部不能代表全部。所以，從模型分析，這大概是250多年來哥德巴赫猜想不能被證明的真正原因。
五。改進數模
我們對【N 2N】上的工作暫時放置，儘管沒有完全實現[N≤n≤P]這N個自然數的GOLDBACH化【即2n=素數+素數】，但是我們知道問題出在哪兒。≤
ⅰ，現在，我們再回過頭仔細研究3≤n≤2N的各個自然數表示成GOLDBACH猜想關係的問題。圖⑷中，根據佰蘭特-切比雪夫定理，做出區間2＜P≤2N的所有素數的平行線和PP線。這些線的交點都是GOLDBACH點。其點的總數為,其中是素數計數函數。我們發現當3≤n≤N時，所有自然數都能建立GOLDBACH猜想關係，究其原因是當[N≤Pi＜大素數]的素數Pi的PP線對區域【3
N】的GOLDBACH點產生作貢獻，吃自己的飯，干別人的活，難怪在區間【N 2N】我們陷入絕境。
ⅱ，根據3≤n≤N的總結，我們對元模型進行改造，鑒於平面直角座標系作用不大，可省略。在奇數軸平行線下，添加一條偶數軸的平行線。表述更全面如圖⑸ ⅲ， 自然數軸不再按原方向延伸，而是在2N點處折下並垂直奇數軸線，這折以下事情就有質的變化，作用很大，讓我們徹底證明GOLDBACH猜想從渺望變成可能。給GOLDBACH先生一個圓滿的答覆，也讓歐拉先生好好休息以下。
六：陳氏定理的證明
陳氏定理的表述如下：Px[1 2]為適合下列條件的素數個數：X-P=P1 X-P=P2P3
其中P1，P2，P3都是素數。
用X表示一個足夠大的偶數。令，其中P︱X P＞2.
對於任意給定的偶數h及充分大的X，用Xk[1 2]表示滿足下面條件的素數P的個數，P≤X,P+h=P1，或P+h=P2P3.其中P1，P2,P3都是素數。
定理1：[1 2]及Px[1 2]≥
定理2：對於任意偶數h，都存在無線多個素數P,使得p+h的素因子的個數不超過2個及Xk[1 2]≥。
按陳氏定理命題條件，在給定大偶數X時我們用圖5來證明陳式定理1。
證明：A，分佈狀態：當大偶數X被分割成兩部份時，按數學共性可有三種分佈形式，⑴ X=素數+素數；⑵ X=素數+奇合數；⑶ X=奇合數+奇合數。我們可以計算出這三種分佈狀態的數量。
B，數量計算：第一種分佈狀態的數目為函數Gx[1 1].表達的數量,即方程X=Pi+Pj的解數，[見下節GOLDBACH猜想【1+1】求解]，第二種分佈數目為：【1 1】-Gx【1 1】。第三種分佈數目為：{X/2—Gx【1 1】-}。
陳氏定理涉及前兩種分佈，在模型圖上我們重點討論前兩種情況，可以依圖5為基準化簡得圖⑹圖6中，我們做了陳氏定理1兩種分佈情況，圖中可知，當素數Pi的平行線和素數Ps的Ps∥【讀PsPs線】焦點落在[1/2]X—X線上時，X=Pi+Ps，或X-Ps=Pi；當素數Pk的Pk∥與奇合數Q的平行線的焦點落在[1/2]x—X線上時，X=Q+Pk，或X-Pk=Q;當素數Pj的平行線與[1/2]X---X線焦點為X-J【也是其合數】時，X=Pj+J,或X-Pj=J.以上情況就是陳氏定理1在模型圖⑹上的真實表達，這樣我們就知道陳氏定理1表述的主要內容是：
逆自然數軸方向遍歷所有素數的分佈情況，即這樣的素數總數為Px【1 2】≥=素數計數函數≥x/㏑X. 證畢。
陳氏定理1表達中的一點缺陷：從圖3中我們知道Q.R,S都是非素數的奇數，在自然數軸上與偶數交替出現，由其引起的平行線可以與無數根PP線相交，這些焦點總是對應某個大偶數，所以當表述這個大偶數的素數分佈時，當時，Q≠P2P3.但這個缺陷並不會影響陳氏定理的完美性。
對陳氏定理1的證明過程中，我們回答了GOLDBACH點與非GOLDBACH點的轉化關係，即通過更替素數和非素數的平行線來實現。
感興趣的讀者可在模型上驗證陳氏定理2.
七．求解GOLDBACH猜想【1+1】
於是，根據佰蘭特-切比雪夫定理，我們在數模上做盡素數P的平行線和PP線，得到圖⑺
我們可以看到，P的無數條平行線和無數條PP線交匯出無數個GOLDBACH點，無數個GOLDBACH點編制出無窮延伸的GOLDBACH網，像結實無比的鋼筋構架一樣支持著數論的大廈屹立不倒刺向藍天。當無限被設置成有限時。
設n為不小3的任意自然數，X=2n，於是，就有：
定理1：由素數P≤X 生成的GOLDBACH點總數函數為：Gx【1 1】=≥
定理2： 生成Gx【1 1】個點所需素數的總數函數為Px【1 1】=1.5≥
.定理3：對任意自然數n≥3，能使方程X=2n=Pi+Pj成立的次數函數為Rx【1 1】≥0.5Cx。
方程X=2n=Pi+Pj的真解次數函數為Rx【1 1】/2.
其中：. 2＜P≤2n
Pi，Pj，為任意自然數。
定理4：素數中值定理：任意不小於3的自然數都可被表示為兩個素數之和的一半。
證明完畢
2013年6月18日脫稿於西安。
參考文獻：素數導論，華羅庚著；哥德巴赫猜想，潘承洞，潘承彪，著
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聲明：由於素數被大量應用到通信，軍事等保密領域，本文公佈后其中的一些方法技巧若產生負面影響，本人概不承擔法律責任。 |
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