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下星期二將開獎的MegaMillion累積獎金已經達到五億五美金了。假設你最近逢賭必嬴，你一定會覺得鴻運當頭，相信如果你去買彩票，你肯定會中獎。事實是否如此呢？
今年八月我跟女兒一起去了好萊塢，參加了美國著名的老牌50年歷史電視「來做個交易吧！」Let's Make a Deal遊戲節目后，女兒提醒了我們這個電視遊戲有一個很著名三門數學問題——亦稱為蒙提霍爾問題，問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。我們就這蒙特霍爾問題跟女兒進行了爭論，女兒最後把我們說得心服口服。
參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。 問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？
女兒的簡單分析
問題的答案是可以：當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。 有三種可能的情況，全部都有相等的可能性（1/3）： 參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。 在頭兩種情況，參賽者可以透過轉換選擇而贏得汽車。第三種情況是唯一一種參賽者透過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是透過轉換選擇而贏的，所以透過轉換選擇而贏的概率是2/3。 如果沒有最初選擇，或者如果主持人隨便打開一扇門，又或者如果主持人只會在參賽者作出某些選擇時才會問是否轉換選擇的話，問題都將會變得不一樣。例如，如果主持人先從兩隻山羊中剔除其中一隻，然後才叫參賽者作出選擇的話，選中的機會將會是1/2。 還可以用逆向思維的方式來理解這個選擇。無論參賽者開始的選擇如何，在被主持人問到是否更換時都選擇更換。如果參賽者先選中山羊，換之後百分之百贏；如果參賽者先選中汽車，換之後百分之百輸。而選中山羊的概率是2/3，選中汽車的概率是1/3。所以不管怎樣都換，相對最初的贏得汽車僅為1/3的機率來說，轉換選擇可以增加贏的機會。
我們提出50%的異議:
人們給出的答案是2/3，當然這個是錯誤的。 2/3是怎麼來的？我來給大家解釋一下： 第一個人第一次選的門，是車的概率是1/3， 第二個人打開一張門后，車肯定是在剩下的兩張門中， 所以最後一張門的幾率是1-1/3=2/3。 這個想法和解釋是完全錯誤的。 錯誤在哪？ 「第一個人選的第一個門的幾率是1/3」 這個錯了。 1/3這個幾率是在樣品個數為3的情況下得出的。 當第二個人打開另一張門的時候，整個事件的樣品個數為2。 當第一個人不改變選擇的時候，其實他已經選擇了第二次！ 他選擇的是「不變」，不代表他的幾率「不變」 整個事件的過程如下： 一個人選了一張門，不打開。 另一個人在剩下的兩張門中，選出一張後面是羊的門。 第一個人在剩下的兩張門中再次選擇了第一次選擇的門。 所以，他選到車的概率為50%。
這蒙特霍爾問題是很老的問題了，不過在任何時候都能引起激烈的爭論，更神奇的是無論直覺派，概率派等都認為自己的答案有道理。世界上多數問題歸根結底都是語言問題。三門問題的爭論其實也是語義上的。正確答案應該是： 如果主持人事先知道哪個門裡有山羊並且他特意選擇了有山羊的門打開了，那麼參賽者應該換另一扇門，這可以將他勝利的概率從1/3升到2/3。 如果主持人事先不知道哪個門裡有山羊或者他只是隨機的選擇了一個門，但事實發現裡面恰好是山羊。這時候參賽者沒有換門的必要，勝利概率總是1/2。 也就是說，概率產生的根本在於這到底是一個人為操作的事件，還是一個純隨機的數學事件。
問題的答案是可以：當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。 有三種可能的情況，全部都有相等的可能性（1/3）： 參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。 在頭兩種情況，參賽者可以透過轉換選擇而贏得汽車。第三種情況是唯一一種參賽者透過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是透過轉換選擇而贏的，所以透過轉換選擇而贏的概率是2/3。 如果沒有最初選擇，或者如果主持人隨便打開一扇門，又或者如果主持人只會在參賽者作出某些選擇時才會問是否轉換選擇的話，問題都將會變得不一樣。例如，如果主持人先從兩隻山羊中剔除其中一隻，然後才叫參賽者作出選擇的話，選中的機會將會是1/2。 還可以用逆向思維的方式來理解這個選擇。無論參賽者開始的選擇如何，在被主持人問到是否更換時都選擇更換。如果參賽者先選中山羊，換之後百分之百贏；如果參賽者先選中汽車，換之後百分之百輸。而選中山羊的概率是2/3，選中汽車的概率是1/3。所以不管怎樣都換，相對最初的贏得汽車僅為1/3的機率來說，轉換選擇可以增加贏的機會。
我們提出50%的異議:
人們給出的答案是2/3，當然這個是錯誤的。 2/3是怎麼來的？我來給大家解釋一下： 第一個人第一次選的門，是車的概率是1/3， 第二個人打開一張門后，車肯定是在剩下的兩張門中， 所以最後一張門的幾率是1-1/3=2/3。 這個想法和解釋是完全錯誤的。 錯誤在哪？ 「第一個人選的第一個門的幾率是1/3」 這個錯了。 1/3這個幾率是在樣品個數為3的情況下得出的。 當第二個人打開另一張門的時候，整個事件的樣品個數為2。 當第一個人不改變選擇的時候，其實他已經選擇了第二次！ 他選擇的是「不變」，不代表他的幾率「不變」 整個事件的過程如下： 一個人選了一張門，不打開。 另一個人在剩下的兩張門中，選出一張後面是羊的門。 第一個人在剩下的兩張門中再次選擇了第一次選擇的門。 所以，他選到車的概率為50%。
這蒙特霍爾問題是很老的問題了，不過在任何時候都能引起激烈的爭論，更神奇的是無論直覺派，概率派等都認為自己的答案有道理。世界上多數問題歸根結底都是語言問題。三門問題的爭論其實也是語義上的。正確答案應該是： 如果主持人事先知道哪個門裡有山羊並且他特意選擇了有山羊的門打開了，那麼參賽者應該換另一扇門，這可以將他勝利的概率從1/3升到2/3。 如果主持人事先不知道哪個門裡有山羊或者他只是隨機的選擇了一個門，但事實發現裡面恰好是山羊。這時候參賽者沒有換門的必要，勝利概率總是1/2。 也就是說，概率產生的根本在於這到底是一個人為操作的事件，還是一個純隨機的數學事件。
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人類這種社會化靈長動物，在舊石器時代的艱苦環境中掙扎求生，演化出共同而重要的庶民直覺，有助於與人相處並建立社交關係，但碰上像賭博這種機率問題，這種直覺就會造成誤導。假設你在玩輪盤賭，一連五次都押中了紅格，那你是應該維持「一路長紅」的氣勢、繼續押紅，還是認為「風水該轉」而改押黑呢？事實上兩者都沒差，因為輪盤並無記憶；然而多數賭徒都犯了「一路長紅（黑）」及「風水該轉」的知名謬誤，而樂的可是賭場主人。
類似的隨機過程以及相關的庶民計數學還有很多，譬如「小數目法則」讓好萊塢片廠老闆在某部影片票房失利后，就把成功的製片人給炒了魷魚，之後才發現該製作人後續製作的片子卻大賣。出現在《運動畫刊》封面的運動員通常會走下坡，那並不是厄運使然，而是「回歸正常」；因為導致他們登上雜誌封面的耀眼表現，本身就是不常發生的事，因此不容易複製。
非常事件不盡然需要非常原因，只要時間夠長，就有可能發生。因此姆婁迪諾說，曉得這點，「我們就能改進決策的能力，並壓抑讓我們做出錯誤判斷及選擇的偏見......我們也可以學會從可能出現的各種結果來判斷決策的優劣，而不是根據已經發生的特定結果來做決定。」讓我們接受隨機性，找出其中模式，並分辨其中的差別吧。*
在此我祝各位買了MegaMillion彩票中獎!
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