美國總統大選的數學問題

「總統候選人最低只需獲得多少全國選票就可以贏得美國大選？」

白露為霜注：這道題目不是我發明的。這是小寶在中學時做過一道數學競賽題。

50%加1票？我就知道有人會這樣說。不過答案錯誤，再猜。

在「投了也白投，白投也要投」一文中提到， 美國總統選舉是一種間接選舉。選民先投票選出選舉人，再由選舉人選出總統。美國憲法Article II規定誰獲得多數的選舉人票誰就獲勝，並沒有提到全國普選得票的數量。那麼有沒有可能一個候選人贏得多於270張的選舉人票卻在全國得票不到半數呢？當然，可能性的確是存在的。這樣的事情在美國歷史上發生過三次。

1876年，第十九屆總統Rutherford Hayes 贏得選舉但他的普選票比對手少26萬張。幾年後的1888年，第二十三屆總統 Benjamin Harrison全國得票比對手少近10萬張。最近的一次是2000年，小布希(George W Bush)同高爾(Al Gore)爭奪總統大位。把全世界看得目瞪口呆的是高爾的全國得票比布希高出50萬張，卻只得到266張選舉人票，以4票之差飲恨。布希險勝佛羅里達功不可沒。他在這個搖擺州只贏了大約300票，可由於種種原因被選舉讀卡機拒絕的廢票竟有17萬張之多。兩人為佛州重數選票和如何處理這些廢票打官司一直打到最高法院。布希獲勝，歷史就此而改寫。「掛著的紙片」 (hanging chad)也變成了美國政治詞語中的一個。

官員在研究2000年佛羅里達的選票

現在我們把這個例子推向極端。假設羅姆尼運氣極佳而且心想事成，他怎樣才能用最少的全國普選票來贏得大選？我們知道他不需要50%，但到底這個數字是45%或35%？

要讓這道題有解我們還要做些簡化工作：1) 假設所以州都是「贏者全拿」(實際上緬因州和內布拉斯加州是例外)；2) 假設所有的選區(congressional district) 投票的人都是一樣多 (實際上還是有差別的)。3)只有兩個候選人(其實還有一些小黨的候選人)。

對於到現在還沒有頭緒的讀者這裡給出提示。產生這種選舉人票和全國普選票不一至現象主要有兩種原因。

提示1：候選人贏得了很多小州

每個州的選舉人的數目相當於這個州的眾議員數目加上參議員數目。比如德州(Texas)有36名眾議員和2名參議員，共38張選舉人票。美國眾議院共435人。每個州的眾議員的數目取決於州的人口。每隔10年，美國就要進行一次人口普查，其目的之一就是確定各個州的眾議員的數量。然後各州還要進行重新划區(redistricting)以確保每個選區的人口基本相同。平均下來，每個選區的人口大約是60萬。

而每個州的參議員的數目卻於人口無關。不管大小每個州都是兩人，50個州共100人。參議員的選區是整個州。

到現在你應該可以看出了。要想以最少的選票取得大選勝利策略之一是贏得許多小州。因為州越小，參議員兩個名額的效果就越顯著。

候選人票的分佈

把這兩個策略合在一起，你就應該能解出這道題。讓我們假設奧巴馬運氣極差。他贏得11個最大的州，包括: 加州(55)，佛羅里達(29)，伊利諾斯(20)，密西根(16)，新澤西(14)，紐約(29)，北卡(15)，俄亥俄(18)，賓夕法尼亞(20)，德州(38)，佛及尼亞(13)。這些州給了他267張選舉人票，剛剛好低於270的門檻。奧巴馬不但贏了這些州，而且是獲得了100%的選票，但這沒有幫助，還是只有267張選舉人票。

相應的羅姆尼贏得了剩下的39個州加華盛頓DC，共獲得選舉人票271張，因而獲得的大選的勝利。羅姆尼而且贏得很巧妙，每個州都是50%+1票。

羅姆尼勝出的這些州里有多少選區呢？271人減40州參議員的數目 271 - 40 * 2 = 191個。因為每個州他只贏了一半多一點的選票，所以投票給羅姆尼的人共有 191 * N / 2 = 95.5 * N (N是每選區投票的人數)。全國438個選區，所以全國共有 438 * N 選票。羅姆尼的全國得票律是 (95.5 * N) /(438 * N) = 21.8%。

答案：總統候選人最低只需獲得全國選票的 21.8% 就當上美國總統

相信不少人對這個數字會很驚訝。只獲得全國選票的22%就可以贏得大選？這還了得！這如何體現多數人說了算的民主原則？如果設計這一制度的美國國父們(founding fathers)知道可能會有這樣的結果不知會如果作想。當然這樣的事情只有在理論上的可能性，在實際生活里是不大會發生。每個國家的制度都有它形成的歷史淵源。當初13個殖民地坐下來討論成立聯邦的時候，各州都在為自己爭取利益。美國獨特的選舉制度也是一個妥協的結果。歷史上也有過好幾次想通過修改憲法把總統選舉改成直選，但這些努力都未能成功。

白露寫這篇博文的目的不是為了批評美國的選舉制度。大多數情況下選舉人票和普選得票結果是相同的，在少數極端情況下，結果卻有很大不同。That's the way it is。是否公平也是見仁見智。作為新移民，對美國政治有個全面的認識，對它的一些獨特屬性有所了解也是很有必要的。民主也是一個學習的過程，作為附加的好處：對算術也有幫助。

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