公理·邏輯·神·理性（1）

（剛才和Deux網友在下面的帖子里談到公理，就把我以前的一篇小文翻了出來，供大家參考。這篇文章是幾個月前寫的，本來構想寫四篇，半途而廢。小弟的虎頭蛇尾功練得越來越出神入化，如果武林中有一個門派叫「斷尾門」，那我一定是該門派的絕頂高手。 ）
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公理·邏輯·神·理性（1）

（一）公理

首先抄一段Wikipedia關於公理的陳述：

公理一詞源自希臘文axioma，原意是「有價值的思想」。
1、公理是最基本和不證自明（或假定為不證自明）的真理；
2、公理是推定任何其他命題的原始出發點，它本身不能由其他命題演繹而來。

公理不像其他由之推導出來的命題一樣可以被證明，其功能在於建構出一個協調併兼容的系統。所以，那種認為公理是可以通過歸納邏輯來證明的看法，是錯誤的，並且這和科學的可證偽性是不相關的。最能說明問題、也最為大家熟知的就是歐幾里德的「平行線公理」：「若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。」通過歐幾里德的「平行線公理」可以導出下述命題：通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。

歐幾里德幾何的五條公理中，就是這最後一條的敘述最繁複、最羅嗦——它看上去不象公理，而是一個可以被證明的命題。所以，自從歐氏幾何誕生，千百年來有無數的人在努力證明「平行線公理」，但是都以失敗告終。一直到高斯、黎曼等數學家登上舞台，才徹底結束了證明「平行線公理」的嘗試。黎曼關於平行線的基本假設是：「通過一個不在直線上的點，可以做兩條不與該直線相交的直線。」由此開創了黎曼幾何，這是非歐幾何的開始。數學家證明，非歐幾何在邏輯上是自恰的，也就是說和歐氏幾何一樣，在邏輯上都是正確的，沒有矛盾。

說到這裡，不能不提提唯心主義的哲學家康德。康德認為這個世界是先天既定的，時間和空間只是人類感知的一種模式，他稱之為直覺。康德認為空間來自於人的心智，也就是說，空間是從人的大腦中創造出來的。既然如此，心智就自然接受空間的某些屬性，比如直線是兩點間最短距離，三角形內角和等於180度等，沒有理由不讓這個空間是歐氏空間。這促使他堅信：不存在歐氏幾何以外的空間（準確點應該是，康德不能構想出別的幾何空間）。如果康德能夠多注意一下他同時代發展出的非歐幾何，估計他就不會這麼輕率的得出結論。後世的愛因斯坦開創的廣義相對論說明：時空是彎曲的，恰恰可以用黎曼幾何來描述。

康德認為歐氏空間是人類思考和感知外部世界的先決條件。我們現在知道，這是錯誤的。雖然歐氏空間不是我們思考和感知外部世界的先決條件，但是，我們的思維的確是歐式空間的，這又是康德正確的地方。這句話很繞，我可以舉個例：我們知道非歐幾何是正確的，並且可以用它來描述時空，但是，因為非歐幾何是非先驗的，所以在你的腦子裡構不出非歐幾何的圖像，比如，你不能想象兩條平行線相交是什麼情況。這也從一個側面說明：公理是不可證明的。

這些說明了什麼？說明我們的大腦有其局限性，思維不是無限的。有趣的是，非歐幾何分為 hyperbolic geometry 和 elliptic geometry（也稱為黎曼幾何）兩類，hyperbolic geometry 的定義是，過一點可以做無數條平行線，elliptic geometry 的定義是這樣的平行線不存在，這三類幾何在邏輯上都是自恰的。類似平行線公理的還有康托連續統假設。於是就引出了哥德爾不完備定理。在上世紀六十年代，數學家證明了「平行線公理」、「康托連續統假設」都屬於不可判定的命題，既無法證明，也無法證偽。數學家可以按照自己的喜好任意選擇，或是進入歐式幾何的系統，或是進入非歐幾何的系統。

現在我們可以回到對公理的認識了。除了開始的關於公理的那兩條定義之外，我們還應該知道，公理系統是可以擴充的。如果擴充的公理系統中，某一條公理屬於「不可判定」的命題，那麼對其「真」或「非真」的不同選擇，可以衍生出兩套邏輯上都正確的系統，比如，歐式幾何與非歐幾何。這樣的認識是我們後面討論的基礎。

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[ 本帖最後由 冷不丁 於 2006-11-9 18:50 編輯 ]