龐加萊猜想何以造福了精準醫療？

大數據文摘2016-04-13 11:57:10

　　作者|顧險峰 (紐約州立大學石溪分校終身教授，清華大學丘成桐數學科學中心訪問教授，計算共形幾何創始人)

　　

　　圖1 龐加萊猜想電腦三維模型

　　最近英國上議院議員馬特?瑞德利（Matt Ridley）在《華爾街日報》上撰文《基礎科學的迷思》（The Myth of Basic Science）。他認為「科學驅動創新，創新驅動商業」這一說法基本上是錯誤的，反而是商業驅動了創新，創新驅動了科學，正如科學家被實際需求所驅動，而不是科學家驅動實際需求一樣。總之，他認為「科學突破是技術進步的結果，而不是原因」。

　　瑞德利先生的言論反映了許多人對基礎科學的嚴重誤解，會給年輕學子們帶來思想混亂和價值觀念上的困擾，有必要加以澄清。誠然，商業需求和工程實踐會為基礎科學提供研究的素材，比如歷史上最優傳輸理論（OptimalMass Transportation Theory）和蒙日-安培方程（Monge-Ampere）起源於土石方的運輸，最後猜想被康塔洛維奇解決，康塔洛維奇為此獲得了諾貝爾經濟學獎。數年前，為了解決醫學圖像的壓縮問題，陶哲軒提出了壓縮感知（Compressive Sensing）理論。但是，從根本上而言，基礎科學的源動力來自於科學家對於自然真理的好奇和對美學價值的追求。基礎科學上的突破，因為揭示了自然界的客觀真理，往往會引發應用科學的革命。純粹數學的研究因為其晦澀抽象，實用價值並不明顯直觀，普羅大眾一直傾向於認為其「無用」。但實際上，純粹數學對應用科學的指導作用是無可替代的。

　　計算機科學和技術發展的一個側面就在於將人類數千年積累的知識轉換成演算法，使得沒有經歷過職業訓練的人也可以直接使用最為艱深的數學理論。在拓撲和幾何領域，往往很多具有數百年歷史的定理僅僅在最近才被轉換成演算法。但是，依隨計算機技術的迅猛發展，從定理到演算法的過程日益加速。很多新近發展的數學理論被迅速轉換成強有力的演算法，並在工程和醫療領域被廣泛應用。

　　歷史一再表明，以滿足人類好奇心為出發點的基礎理論研究，其本質突破往往不能引起當時人類社會的重視，宛若冰川曠谷中一聲微弱的吶喊，轉瞬間隨風消逝，但是這一聲往往會引發令天空變色，大地顫抖的雪崩。龐加萊猜想的證明就是一個鮮明的實例，雖然雪崩效應還沒有被大眾所察覺，但是雪崩已經不可逆轉地開始了！

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　　龐加萊猜想

　　法國數學家龐加萊（Jules Henri Poincaré）是現代拓撲學的奠基人。拓撲學研究幾何體，例如流形，在連續形變下的不變性質。我們可以想象曲面由橡皮膜製成，我們對橡皮膜拉伸壓縮，扭轉蜷曲，但是不會撕破或粘聯，那麼這些形變都是連續形變，或被稱之為拓撲形變，在這些形變下保持不變的量就是拓撲不變數。如果一張橡皮膜曲面經由拓撲形變得到另外一張橡皮膜曲面，則這兩張曲面具有相同的拓撲不變數，它們彼此拓撲等價。如圖2 所示，假設兔子曲面由橡皮膜做成，我們象吹氣球一樣將其膨脹成標準單位球面，因此兔子曲面和單位球面拓撲等價。

　　

　　圖2. 兔子曲面可以連續形變成單位球面，因此兔子曲面和球面拓撲等價。

　　兔子曲面無法連續形變成輪胎的形狀，或者圖3中的任何曲面。直觀上，圖5中小貓曲面有一個「洞」，或稱「環柄」；圖3中的曲面則有兩個環柄。拓撲上，環柄被稱為虧格。虧格是最為重要的拓撲不變數。所有可定向封閉曲面依照虧格被完全分類。

　　

　　圖3. 虧格為2的封閉曲面。虧格是曲面最重要的拓撲不變數。

　　龐加萊思考了如下深刻的問題：封閉曲面上的「洞」是曲面自身的內蘊性質，還是曲面及其嵌入的背景空間之間的相對關係？這個問題本身就是費解深奧的，我們力圖給出直觀淺近的解釋。我們人類能夠看到環柄形成的「洞」，是因為曲面是嵌入在三維歐式空間中的，因此這些「洞」反應了曲面在背景空間的嵌入方式，我們有理由猜測虧格反映了曲面和背景空間之間的關係。

　　

　　圖4. 曲面上生活的螞蟻如何檢測曲面的拓撲？

　　但是另一方面，假設有一隻螞蟻自幼生活在一張曲面上，從未跳離過曲面，因此從未看到過曲面的整體情形。螞蟻只有二維概念，沒有三維概念。假設這隻螞蟻具有高度發達的智力，那麼這隻螞蟻能否判斷它所生活的曲面是個虧格為0的拓撲球面，還是高虧格曲面？

　　

　　圖5. 虧格為1的曲面上，無法縮成點的閉圈。

　　龐加萊最終悟到一個簡單而又深刻的方法來判斷曲面是否是虧格為0的拓撲球面：如果曲面上所有的封閉曲線都能在曲面上逐漸縮成一個點，那麼曲面必為拓撲球面。比如，我們考慮圖5中小貓的曲面，圍繞脖子的一條封閉曲線，在曲面上無論怎樣變形，都無法縮成一個點。換言之，只要曲面虧格非零，就存在不可收縮成點的閉圈。如果流形內所有的封閉圈都能縮成點，則流形被稱為是單連通的。龐加萊將這一結果向高維推廣，提出了著名的龐加萊猜想：假設M是一個封閉的單連通三維流形，則M和三維球面拓撲等價。

　　

　　圖6. 帶邊界的三流形，用三角剖分表示。

　　在現實世界中，無法看到封閉的三維流形：正如二維封閉曲面無法在二維平面上實現，三維封閉流形無法在三維歐式空間中實現。圖6顯示了帶有邊界的三維流形，例如實心的兔子和實心的球體拓撲等價。這些三維流形用三角剖分來表示，就是用許多四面體粘合而成。如圖所示，體的三角剖分誘導了其二維邊界曲面的三角剖分。實心球實際上是三維拓撲圓盤，我們可以將兩個三維拓撲圓盤沿著邊界粘合，就得到三維球面，恰如我們可以將兩個二維拓撲圓盤沿著邊界粘合而得到二維球面一樣。當然，這已經超出人們的日常生活經驗。

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　　曲面單值化定理

　　近百年來，龐加萊猜想一直是拓撲學最為基本的問題，無數拓撲學家和幾何學家為證明龐加萊猜想而鞠躬盡瘁死而後已。相比那些最後成功的幸運兒，眾多默默無聞，潦倒終生的失敗者更加令人肅然起敬。老顧曾經訪問過吉林大學數學學院，聽聞了有關何伯和教授的生平事迹。何教授終生痴迷於龐加萊猜想的證明，苦心孤詣，廢寢忘食，愈挫愈奮，九死不悔，直至生命終結，對於龐加萊猜想依然念念不忘。何教授絕對不是為了任何實用價值或者商業利益而奮鬥終生的，而是為了對於自然界奧秘的好奇，對於美學價值的熱切追求，這種純粹和崇高，是人類進步的真正動力！

　　

　　圖7. 人臉曲面上連接兩點的測地線。

　　作為拓撲學最為基本的問題，龐加萊猜想的本質突破卻來自於幾何。給定一個拓撲流形，如給定圖6中四面體網格的組合結構，我們可以為每條邊指定一個長度，使得每個四面體都是一個歐式的四面體，這樣我們就給出了一個黎曼度量。所謂黎曼度量，就是定義在流形上的一種數據結構，使得我們可以確定任意兩點間的最短測地線。圖7顯示了人臉曲面上的兩條測地線。黎曼度量自然誘導了流形的曲率。曲率是表徵空間彎曲的一種精確描述。給定曲面上三個點，我們用測地線連接它們成一個測地三角形。如果曲面為歐幾里德平面，那麼測地三角形內角和為180度。球面測地三角形的內角和大於180度，馬鞍面的測地三角形的內角和小於180度。測地三角形內角和與180度的差別就是三角形的總曲率。那麼，給定一個拓撲流形，我們能否選擇一個最為簡單的黎曼度量，使得曲率為常數呢？

　　

　　圖8. 曲面單值化定理，所有封閉曲面都可以保角地形變成常曲率曲面。

　　這一問題的答案是肯定的，這就是曲面微分幾何中最為根本的單值化定理。單值化定理是說大千世界，各種幾何形狀千變萬化，但是無論它們如何變化，都是萬變不離其宗：所有的曲面都可以共形地變換成三種標準曲面中的一種，單位球面，歐幾里德平面和雙曲平面。標準空間對應著常數值曲率，+1，0和-1，如圖8所示。所謂共形變換，就是保持局部形狀的變換，局部上看就是相似變換。相似變換保持角度不變，因此共形變換也被稱為是保角變換。圖9顯示了從曲面到平面的一個共形變換。單值化定理斷言了所有封閉曲面可以配有三種幾何中的一種：球面幾何，歐氏幾何和雙曲幾何。曲面微分幾何中幾乎所有的重要定理都繞不過單值化定理。

　　

　　圖9. 共形變換保持局部形狀。

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　　瑟斯頓幾何化猜想

　　為了證明龐加萊猜想，菲爾茲獎得主瑟斯頓推廣了單值化定理到三維流形情形。任何三維流形，都可以經歷一套標準手續分解成一系列的最為簡單的三維流形，即所謂的素流形。素流形本身無法被進一步分解，同時這種分解本質上是唯一的。瑟斯頓提出了石破天驚的幾何化猜想：所有的素三維流形可以配有標準黎曼度量，從而具有8種幾何中的一種。特別地，單連通的三維流形可被配有正的常值曲率度量，配有正的常值曲率的3維流形必為3維球面。因此龐加萊猜想是瑟斯頓幾何化猜想的一個特例。

　　

　　圖10. 瑟斯頓的蘋果，幾何化猜想。

　　圖10顯示了瑟斯頓幾何化的一個實例。假設我們有一個蘋果，三隻蛀蟲蛀蝕了三條管道，如左幀所示，這樣我們得到了一個帶邊界的三維流形。根據幾何化綱領，這個被蛀蝕的蘋果內部容許一個雙曲黎曼度量，使得其邊界曲面的曲率處處為-1。我們將配有雙曲度量的蘋果周期性地嵌在三維雙曲空間之中，得到右幀所示圖形。

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　　哈密爾頓的里奇曲率

　　本質的突破來自於哈密爾頓的里奇曲率流（Hamilton's Ricci Flow）。哈密爾頓的想法來自經典的熱力學擴散現象。假設我們有一隻鐵皮兔子，初始時刻兔子表面的溫度分佈並不均勻，依隨時間流逝，溫度漸趨一致，最後在熱平衡狀態，溫度為常數。哈密爾頓設想：如果黎曼度量依隨時間變化，度量的變化率和曲率成正比，那麼曲率就像溫度一樣擴散，逐漸變得均勻，直至變成常數。如圖11所示，初始的啞鈴曲面經由曲率流，曲率變得越來越均勻，最後變成常數，曲面變成了球面。

　　

　　圖11. 曲率流使得曲率越來越均勻，直至變成常數，曲面變成球面。

　　在二維曲面情形，哈密爾頓和Ben Chow證明了曲率流的確將任何一個黎曼度量形變成常值曲率度量，從而給出了曲面單值化定理的一個構造性證明。但是在三維流形情形，里奇曲率流遇到了巨大的挑戰。在二維曲面情形，在曲率流過程中，在任意時刻，曲面上任意一點的曲率都是有限的；在三維流形情形，在有限時間內，流形的某一點處，曲率有可能趨向於無窮，這種情況被稱為是曲率爆破（blowup），爆破點被稱為是奇異點（singularity）。

　　如果發生曲率爆破，我們可以將流形沿著爆破點一切兩半，然後將每一半接著實施曲率流。如果我們能夠證明在曲率流的過程中，曲率爆破發生的次數有限，那麼流形被分割成有限個子流形，每個子流形最終變成了三維球面。如果這樣，原來流形由有限個球粘合而成，因而是三維球面，這樣就證明了龐加萊猜想。由此可見，對於奇異點的精細分析成為問題的關鍵。哈密爾頓釐清了大多數種類奇異點的情況，佩雷爾曼解決了剩餘的奇異點種類。同時，佩雷爾曼敏銳地洞察到哈密爾頓的里奇流是所謂熵能量的梯度流，從而將里奇流納入了變分的框架。佩雷爾曼給出了證明的關鍵思想和主要梗概，證明的細節被眾多數學家進一步補充完成。至此，瑟斯頓幾何化猜想被完全證明，龐加萊猜想歷經百年探索，終於被徹底解決。

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　　龐加萊猜想帶來的計算技術

　　龐加萊猜想本身異常抽象而枯燥：單連通的閉3-流形是三維球面，似乎沒有任何實用價值。但是為了證明龐加萊猜想，人類發展了瑟斯頓幾何化綱領，發明了哈密爾頓的里奇曲率流，深刻地理解了三維流形的拓撲和幾何，將奇異點的形成過程納入了數學的視野。這些基礎數學上的進展，必將引起工程科學和實用技術領域的「雪崩」。比如，里奇曲率流技術實際上給出了一種強有力的方法，使得我們可以用曲率來構造黎曼度量。

　　里奇曲率流屬於非線性幾何偏微分方程，里奇流的方法實際上是典型的幾何分析方法，即用偏微分方程的技術來證明幾何問題。幾何分析由丘成桐先生創立，龐加萊猜想的證明是幾何分析的又一巨大勝利。當年瑟斯頓提倡用相對傳統的拓撲和幾何方法，例如泰西米勒理論和雙曲幾何理論來證明，也有數學家主張用相對組合的方法來證明，最終還是幾何分析的方法拔得頭籌。

　　哈密爾頓的里奇流是定義在光滑流形上的，在計算機的表示中，所有的流形都被離散化。因此，我們需要建立一套離散里奇流理論來發展相應的計算方法。歷經多年的努力，筆者和合作者們建立了離散曲面的里奇曲率流理論，證明了離散解的存在性和唯一性。因為幾乎所有曲面微分幾何的重要問題，都無法繞過單值化定理。我們相信離散曲率流的計算方法必將在工程實踐中發揮越來越重要的作用 [1]。

　　

　　圖12. 離散里奇流計算的帶邊曲面單值化。

　　圖8和圖12顯示了離散里奇流算出的封閉曲面和帶邊界曲面的單值化。本質上，這兩幅圖統攝了現實生活中所有可能的曲面，它們都被共形地映到了三種標準曲面上，球面、歐氏平面和雙曲平面。這意味著，如果我們發明了一種新的幾何演算法，適用於這三種標準曲面，那麼這一演算法也適用於所有曲面。因此，離散曲率流的技術極大地簡化了幾何演算法設計。

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　　精準醫療

　　龐加萊猜想所誘發的離散曲率流方法被廣泛應用於精準醫療領域。人體的各種器官本質上都是二維曲面或三維流形，曲率流方法對於這些器官幾何特徵的分析和比較起到了不可替代的作用。

　　

　　圖13. 虛擬腸鏡技術。

　　虛擬腸鏡

　　直腸癌是男子的第四號殺手，僅在心腦血管疾病之後。中年之後，每個人都會自然長出直腸息肉，息肉會逐年增長，如果息肉直徑達到一定尺寸，由於摩擦息肉會發生潰瘍，長期潰瘍會導致癌變。但是直腸息肉的生長非常緩慢， 一般從息肉出現直到臨界尺寸需要七八年，因此對息肉的監控對於預防直腸癌起著至關重要的作用。中年人應該每兩年做一次腸鏡檢查。傳統的腸鏡檢查方法需要對受檢者全身麻醉，將光學內窺鏡探入直腸。老年人腸壁比較薄弱，容易產生併發症。同時，腸壁上有很多皺褶，如果息肉隱藏在皺褶中，醫生會無法看到而產生漏檢。

　　近些年來，北美和日本採用了虛擬腸鏡技術。受檢者的直腸圖像由斷層掃描技術來獲取，直腸曲面可以從圖像重建出來，如圖14所示。我們需要將直腸展開攤平，從而使所有皺褶暴露出來，以便於尋找息肉和測量它們的尺寸。同時，如圖13所示，在檢查中同一受檢者的直腸被掃描兩次，每次掃描都是採用不同的姿態。直腸曲面柔軟而富有彈性，不同的掃描得到的曲面之間相差很大的彈性形變。我們需要在兩張曲面間建立光滑雙射。在兩張三維曲面間建立映射相對困難，當我們將曲麵攤開展平成平面長方形后，在平面區域間計算映射會簡單很多。將直腸曲麵攤開展平等價於為曲面賦上一個曲率處處為0的黎曼度量，我們可以直接應用里奇曲率流的演算法加以實現，如圖14所示。

　　

　　圖14. 用里奇曲率流將直腸曲麵攤開展平。

　　目前，虛擬腸鏡技術在北美和日本被廣泛採用，（但在中國還沒有普及），主要是因為這種方法可以提高安全性，降低漏檢率，降低人力成本。虛擬腸鏡技術的普及極大地提高了早期直腸癌的發現幾率，降低了直腸癌的死亡率，為人類的健康事業做出了巨大貢獻。

　　

　　圖15. 虛擬膀胱鏡。

　　同樣的方法可以用於膀胱等其他器官，如圖15所示。膀胱癌的最主要特徵是膀胱壁變厚，同時內壁不再光滑，出現菜花狀的幾何紋理。這些癥狀可以用虛擬膀胱鏡的方法定量得到。傳統膀胱鏡的方法病人需要忍受很大的痛苦，虛擬膀胱鏡的方法極大地減輕了病患的疼痛，因而具有很大的優勢。

　　

　　圖16. 用里奇曲率流將大腦皮層曲面共形映到單位球面，以便於對照比較。

　　腦神經疾病的預防診斷

　　腦退化症（Alzheimer』s disease，俗稱老年痴呆症），癲癇，兒童自閉症等腦神經疾病嚴重地威脅著人類的健康安全。對於這些疾病的預防和診斷具有重要的現實意義。通過核磁共振成像技術，我們能夠獲取人類的大腦皮層曲面，如圖16所示。大腦皮層曲面的幾何非常複雜，有大量的皺褶溝回結構，並且這些幾何結構因人而異，依隨年齡變化而變化。例如老年痴呆症往往伴隨大腦皮層一部分區域的萎縮。為了監控病情的發展，我們需要每隔幾個月就掃描一下病人的大腦，然後將不同時期得到的大腦皮層曲面進行精確地對比。在三維空間中直接對比難度很高，我們非常容易將不同的溝回錯誤地對齊，演算法落入在局部最優陷阱中。如圖16所示，我們將大腦皮層曲面共形地映到球面上，然後在球面之間建立光滑映射，這種方法更加簡單而精確。將大腦皮層映到球面等價於為大腦皮層曲面賦以曲率為+1的黎曼度量，我們可以用里奇曲率流的方法得到。

　　

　　圖17. 大腦海馬體的幾何分析。

　　如果說大腦皮層是資料庫，那麼海馬體就是資料庫的索引，如圖17所示。如果海馬體發生病變，長期記憶就無法形成，同時大腦中的長期記憶也無法被取出。很多神經疾病都能夠引起海馬體的變形，例如癲癇、吸毒、腦退化症等等。對海馬體的幾何形狀進行定量比較分類是非常重要的。一種精確的方法是將海馬體共形映到單位球面上，則面積的變化率給出了初始黎曼度量的全部信息，再加上平均曲率，那麼海馬體的所有幾何信息被完美保留。換言之，我們將海馬體曲面轉換為球面上的兩個函數（面積變化率，平均曲率）。在球面上比較不同的海馬體曲面，從而精確衡量曲面之間的相似程度，進行分類診斷。相比於傳統方法，這種基於幾何的診斷方法更加定量而精確。

　　

　　圖18. 人臉曲面的精確匹配。

　　美容技術

　　在美容手術領域中，術後效果評估是重要的一個環節，這需要將術前和術后的人臉曲面進行精確的匹配。如圖18所示，我們掃描了同一個人的帶有不同表情的兩張人臉曲面，然後在人臉曲面之間建立了精確的雙射。平靜表情的人臉上每一個小圓映到微笑表情的人臉上對應的小橢圓，由此我們可以測量對應點的幾何變化。因此，三維人臉曲面間精確映射是美容領域中至關重要的技術。

　　

　　19. 三維人臉曲面被共形地映到二維平面上，所用方法就是里奇曲率流。

　　如圖19所示，我們用里奇曲率流方法，將人臉曲面的黎曼度量變成曲率為0的平直度量，將三維人臉曲面平鋪到二維平面上面，然後在二維平面區域之間建立光滑雙射，從而誘導三維人臉曲面間的雙射。當然，這種方法也可以用於三維人臉識別，但是人臉識別對於映射的精確度要求沒有如此之高。

　　在精準醫療的其他領域，例如牙齒整形、人造心臟瓣膜、人造骨骼、放射治療實時監控、肝臟手術計劃等等，都需要對各種人體器官進行影像獲取、幾何重建、特徵分析等，里奇流方法都會起到重要的作用。

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　　總結和展望

　　龐加萊猜想本身純粹而抽象：單連通的閉三維流形是三維球面，這一猜想本身似乎並沒有任何實用價值。其結論的簡單直觀，往往給非數學專業人員無病呻吟之感。但是純粹數學所追求的嚴密性迫使無數拓撲和幾何學家們前仆後繼，奉獻終身，終於在眾多數學家的共同努力下完成了證明。二維曲面的幾何化定理——單值化定理從理論證明到演算法提出，歷經了百年；三維流形的瑟斯頓幾何化綱領從理論證明到演算法提出，幾乎是同時。三維流形的拓撲理論和計算理論一開始就深刻地糾纏在一起。這表明，在現代，依隨計算機技術的發展，純粹理論到應用演算法的開發周期越來越短。

　　同時，我們看到，在證明龐加萊猜想的過程中，瑟斯頓的幾何化綱領將三維流形的風景一覽無遺，哈密爾頓的里奇流給出從曲率來構造黎曼度量的強有力的工具，哈密爾頓和佩雷爾曼的奇點演化理論使得原來理論的禁區被徹底打破。筆者和許多數學家發展了離散里奇流的理論和演算法，並且系統性地將曲率流應用到許多工程和醫療領域。在實踐中，我們深深體會到，在許多關鍵的應用中，曲率流的方法無法被其它任何方法所取代。目前在社會實踐中，里奇流在二維曲面上的應用已經開始逐步展開。但是里奇流在三維流形上的應用更為深邃奧妙，強悍有力，目前還沒有任何實際應用。一方面因為三維流形遠遠超越日常生活經驗，另一方面也是因為和曲面微分幾何相比，三維流形的拓撲和幾何知識遠未普及。但是作為自然真理的忠實刻畫，遲早三維流形的拓撲和幾何會在社會實踐中大行其道。龐加萊猜想所引發的雪崩效應終究會改寫歷史進程。

　　當龐加萊提出他的拓撲猜想，瑟斯頓洞察三維流形的基本幾何結構，哈密爾頓悟出里奇曲率流，佩雷爾曼看出哈密爾頓的曲率流本質上是所謂熵能量的梯度流，他們所追求的是體悟幾何結構的壯美，和自然真理的深邃。他們絕不會將實用價值作為其終極目的。實用技術的積累往往只能帶來進化（Evolutio），好奇心的滿足卻能真正帶來革命（Revolution）。願更多的年輕人在萬丈紅塵中，在浮躁喧囂中，能夠保持誠摯純真，保持強烈好奇，保持對自然界美麗的敏感，保持對科學真理的激情！