數學家開的歷史性玩笑

馬悲鳴


一、畢達哥拉斯定理

　　《周髀算經》中記有商高同周公的對話：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五」，被認為是最早表述勾股定理（也稱商高定理）的中國數學文獻。「折矩」一詞可理解為「直角」。

　　希臘數學家歐幾里德（Euclid，公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認為勾股定理是畢達哥達斯（Pythagoras，公元前五百年左右的人）最早發現的，故稱之為「畢達哥拉斯定理」。

　　畢達哥拉斯比周公晚約五百年。但據考證，《周髀算經》大約是戰國到西漢間的托古之作，和託名黃帝的中醫經典《黃帝內經》成書時間相近。根據歐幾里德的說法，畢達哥拉斯已經確認了「直角三角形兩個直角邊各自平方的和等於斜邊的平方」：a2+b2=c2。
　　
　　漢末三國時期的趙爽提到「勾股冪合以成弦冪」，已是元始之後約兩百年了。《周髀算經》之於畢達哥拉斯定理有如曹沖秤象之於阿基米德浮力定律。

　　曹沖秤象當然符合浮力定律，但並沒有明確指出：「物體排開的水的重量等於水對物體的浮力」。阿基米德泡澡時直接感受到水對自己身體的浮力，忽然悟出了浮力定律。他一時忘乎所以，光著身子跳出浴缸大喊「尤瑞卡！」（希臘語「解出來啦！」）。

　　阿基米德這句話從此成了典故。歐盟振興科技的龐大計劃就命名為「尤瑞卡」。而中國的類似計劃卻命名為863，只因曹沖秤象時什麼都沒喊。

　 　孔已己知道茴香豆的「茴」字有四種寫法。勾股定理有小四百種證法。除了「勾三股四弦五」外，畢氏定理還有許多整數解。在a<100並且 b<100的一萬對組合中有126對的平方和本身也是一個整數的平方。如果扣除a^2+b^2=c^2和b^2+a^2=c^2可以互換的一半（比 如3^2+4^2=5^2和4^2+3^2=5^2），則還有63對。如果把諸如a^2+b^2=c^2和(na)^2+(nb)^2=(nc)^2，各 項乘相同的整數倍（比如3^2+4^2=5^2和6^2+8^2=10^2）的數組中只保留最小的一組，則還剩下18組整數解。其中每一組解分別代表互不 相似的直角三角形的三條邊。

        Obs      a       b        c

         1       3       4        5
         2       5      12       13
         3       7      24       25
         4       8      15       17
         5       9      40       41
         6      11      60       61
         7      12      35       37
         8      13      84       85
         9      16      63       65
        10      20      21       29
        11      20      99      101
        12      28      45       53
        13      33      56       65
        14      36      77       85
        15      39      80       89
        16      48      55       73
        17      60      91      109
        18      65      72       97



二、費爾馬大定理

　　 古希臘數學家歐幾里德完備了由畢達哥拉斯定理開創的平面幾何。刁番都（公元兩百五十年左右的人）則更關心畢達哥拉斯定理的整數解。

　　 費爾馬（Pierre de Fermat, 1601-1665）是法國司法部門工作人員。當時為了司法公正，規定法官不得參加社交活動，以避免偏見。這與中國歷代公案小說提倡的法官靠微服私訪洞察案情來辦案的做法正好相反。偏見比無知更危險。

　 　下班后百無聊賴的費爾馬便把數學當成了消遣。1637年，費爾馬在讀因文藝復興而重新被發現的刁番都名著《算術》殘本時，在書中第11卷第8命題關於不 定方程x^2+y^2=z^2的正整數解這頁的空白處寫道：「任何一個數的立方，不能分成兩個數的立方之和；任何一個數的四次方，不能分成兩個數的四次方 之和。一般來說，不可能將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和。我已經得到了這個定理的絕妙證明；可惜這裡空白太小，寫不下了。」

　　費 爾馬去世后，人們在整理他的遺物時發現了這段寫在書眉上的話。1670年，他兒子發表了費爾馬的頁端筆記，世上才知道有這麼一個命題。後來，人們就把這一 論斷稱為費爾馬大定理或最後定理。用數學語言表達應是：形如x^n+y^n=z^n的方程，當時n>2時沒有整數解（x,y和z不可能同時都是整 數）。

　　業餘數學愛好者費爾馬這麼一句「可惜這裡的空白太小，寫不下了」，難倒了之後近三百六十年間所有的數學家。沒人能再次找到費爾馬的證明。

　　十八世紀的大數學家歐拉在那本特殊版本的刁番都《算術》其他空白處發現費爾馬對4次冪的含糊證明。歐拉釐清了這個證明，並證明了3次冪的無解。

　　費爾馬寫下那句話大約過了兩百年，勒讓德、狄利克雷、拉梅和法國女數學家熱爾曼等人相繼證明了5次冪和7次冪的無解（3次冪的無解可延伸到6次、9次…等，3的整數倍次冪的無解）。

　　1844年德國數學家庫莫爾提出了「理想數」概念，證明了對於所有小於100的素指數n，費馬大定理成立。

　　法國科學院曾先後兩次設立過巨額獎金懸賞費爾馬大定理的證明。1847年，拉梅在法國科學院的講台上宣稱將在科學院雜誌上發表一個關於費爾馬大定理的完整證明。緊接著柯西也上台宣布自己也有一個完整證明要發表。

　　三周后，兩人各自聲明已經把加蓋了密封印信的證明稿存入科學院，等待公平的當眾開封裁決。不料剛過一個月，法國科學院就收到了庫莫爾的信。庫莫爾根據拉梅和柯西言談中露出的蛛絲馬跡，指出兩人都犯了同樣的邏輯錯誤。

　　拉梅看到庫莫爾的信后認栽。柯西一開始不認帳，並連篇累牘地發文狡辯。但十年後，他給法國科學院寫了一份有關費爾馬大定理的信，承認了庫莫爾指責的正確，並建議撤銷這個智力體操比賽的獎項，把獎金獎給庫莫爾。

　　柯西是極限論的發明人，為人自負、好鬥，除了這次以外從不認錯，是數學家圈子裡的公敵。

　 　二十世紀初的德國實業家沃爾夫斯克勒因失戀而決定自殺。他選定了自殺的日子，準備在子夜鐘聲響起時開槍。沃爾夫斯克勒整理好了死前所有需要交代的事：商 務文件、遺囑，並給親友寫了信。由於他的效率太高，處理完所有事情后還沒到子夜時限。為了消磨時間，他翻閱了一篇有關證明費爾馬大定理的論文，卻發現了其 中的一處錯誤。等他經過自己的推演，釐清了這個錯誤后，天已放亮，坐失了自己選定的自殺時機。

　　1908年，沃爾夫斯克勒把十萬馬克（當時約值於160萬美元）遺產贈給德國哥丁根科學會，懸賞費爾馬大定理的證明，有效期100年（1908-2007）。但哥丁根科學會聲明不負責審稿。

　 　當時德國有個《數學與物理文獻實錄》雜誌自報奮勇，願意鑒定申報的證明。到1911年初為止，該雜誌共審查了111個「證明」，無一不是錯的；後來實在 忍受不了這個沉重的負擔，才不得不宣布停止一切相關審稿。但因十萬馬克在當時的價值仍很可觀，而費爾馬大定理的題意連小學生都能聽懂，證明的浪潮仍是洶湧 澎湃。不僅數學家，連工程師、牧師、教師、學生、銀行職員、政府官吏和一般市民，都鑽進這個題眼裡。一時間各種刊物公布的證明足有上千。當然無一正確。

　　雖然經過兩次世界大戰，貨幣大幅度貶值，當初的十萬馬克已所值無幾。但好奇心與野心仍鼓舞著一代又一代痴迷者樂此不疲。

　 　1993年6月21日至23日，英國劍橋大學召開國際數論討論會。主持人約翰•寇茲（John Coates）教授邀請自己過去的博士生、當時已經入籍美國的普林斯頓大學教授安德魯•威爾斯（Andrew Wiles）與會。原本寇茲給了威爾斯一個小時的報告時間。但威爾斯要求三個小時。結果還是每天一小時，但可以講三天。威爾斯報告的題目是《模形式、橢圓 曲線和迦羅瓦表達（Modular Forms, Elliptic Curves, and Galois Representations）》，讓人搞不清他要講什麼。

　　第一天大約有20位數學家來聽他的報告。內容雖然精彩，但是人們還是不知道下一步會講到哪裡去。

　　第二天，威爾斯繼續開講，200頁手稿的公式、推演被搬到黑板上。滿屋子的聽眾都在猜測推論是什麼。威爾斯講完夾起手稿就走，不回答任何問題。

　　最後一天，會場爆滿，門裡門外站滿了人，很多人帶了照相機，人們預期會有重大事件發生。當威爾斯證明了極其複雜的谷山-志村猜想之後，與會者已經知道他下一步打算講什麼了。

　　1986年夏，伯克萊加大的瑞柏特證明了費爾馬大定理包含在「谷山豐-志村五朗猜想 」之中。童年就痴迷於此的威爾斯正是從那時開始踏上了潛心七年的攻克費爾馬大定理的征途。

　　最後，當威爾斯若無其事地說：「這就證明了費爾馬最後定理。我想，講到這兒就行了。」掌聲頓時驚暴全場，照相機響成一片。同行紛紛上前握手祝賀。

　　6月24日紐約時報頭版標題：「終於可以對古老的數學之謎大喊「尤瑞卡」了！（At Last, Shout of 『Eureka』 In Age-Old Math Mystery）」。威爾遜一舉成名。但隨後發現他的證明仍有漏洞。

　　1994年9月19日，威爾斯和自己的學生查爾斯.泰勒找到了修補漏洞的辦法，並用聯邦快遞（Fedex）從速投寄給全世界頂級的有關專家鑒定。第一次仍被發現不夠完美。第二次快遞之後終於通過鑒定。

　　美國《數學年刊》1995年5月號第142卷上發表了威爾斯的論文，「模橢圓曲線和費爾馬大定理」。全文共五章，130頁，佔滿了該期全卷。此時距離費爾馬在書頁空白處寫下那句話已經過去了358年。

　　1997年6月27日，沃爾夫斯克勒委員會如約付給威爾斯十萬馬克獎金（時值五萬美元），距離百年懸賞的截止期還差十年。

　 　威爾斯在證明過程中使用的谷山-志村猜想、迦羅瓦表達、科利瓦金-弗萊奇方法，還有模形式等一系列數學技巧，在費爾馬時代都不存在。如此繁複的證明，仍 無法讓人相信當年費爾馬寫在書頁空白處的那句「我已經得到了這個定理的絕妙證明」確是事實。估計費爾馬本人是費爾馬大定理證明史上第一個出錯的人。

　　可憐谷山-志村猜想的那位日本人谷山豐1958年訂婚不久后自殺。過了幾個月，他的未婚妻也隨之而去，留下遺言：「既然他已經去了，我也必須和他在一起。」-數學界也有殉情故事。

　　威爾斯1993年的報告被指出漏洞時，老年的志村五郎堅信威爾斯的思路是對的。


三、哈代

　 　英國數學家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877－1947）最初對數學並無興趣。大約15歲那年，他讀了一本描述劍橋大學三一學院大學生活的書。三一學院(Trinity College)得名於「聖父、聖子、聖靈；三位一體」，是牛頓進修過的地方。該書作者在院士資格的數學考試中得到第二名而成為院士，獲准進入高級組合室 （Senior Combination Room），一面喝著葡萄酒，吃著美食，一面惋惜另一位好友的功虧一匱。

　　哈代自己說：「該書最後進入高級組合室的一幕，簡直把我迷死了。從此以後，直到我自己也成為三一學院院士之前，數學對於我來說，就是籍以敲開進入高級組合室大門的工具」。

　　哈代說，他看不出該書作者有多聰明；既然該作者能做到的事，那麼自己也能做到。

　　純粹因為好玩，哈代一個不留神失足成了數學家。

　　但等哈代進入三一學院之後才發現這個競爭院士的考試其實只是解一連串無聊的難題。有專門老師訓練學生考試技巧，和如今中國的高考惡補相似。等哈代通過該考試成為院士，獲准進入高級組合室之後，他便開始力倡改革這種考試方式，使之轉向真正的數學研究。

　 　中國從隋朝大業元年（605）開科考試，至清光緒三十一年（1905）廢科舉的一千三百年間，以每五年一大比粗估，大約有200到300屆考試。以每科 取進士百名粗估，大約能有兩萬到三萬名進士。凡金榜提名者，無一對科舉提出不管是形式上還是內容上的批評，更何況改進。而榜上無名者卻有揭竿而起，試圖推 翻組織科舉考試的朝廷者。

　　落第秀才洪秀全索性連聖賢書都不再讀而改宗天主教，把人家「聖父、聖子、聖靈；三位一體」給改成「天父、天 兄、天王；太平天國」的三位一體，並自稱是耶穌的弟弟，站在天父「爺火華」的左邊（聖經說耶穌站在上帝寶座右邊）。文革中更是眾多本不可能通過高考的張鐵 生者流進入大學搞教育革命。

　　象哈代那種先拔了院士晉階考試頭籌，然後再回頭力倡改革該項考試者，中國一個沒有；都是要麼進士及第捍衛科舉；要麼落第回鄉扯旗造反。最近去世的任繼愈老先生曾提出恢復科舉，結果不但沒人肯聽，還被當成了笑話。

　　有人曾問及哈代平生對數學的最大貢獻是什麼。他說是發現了印度數學怪才拉馬努金。哈代與李特伍德合作三十餘年。他平生髮表的大約四百篇論文里有一百餘篇是夥同李特伍德合寫的。

　 　哈代有些怪癖。他不照鏡子，家裡也沒有鏡子。他住進旅館的第一件事就是拿條毛巾把鏡子遮住。他也不喜歡照相，平生只照過五次。根據現在流傳下來的照片 看，哈代長得英俊清秀，當得帥哥。但他不結婚，也沒有女朋友。他妹妹也不結婚，一輩子料理哥哥的生活。哈代著迷於體育比賽，尤其醉心板球；有板球賽必看， 有板球新聞必讀；尤喜神聊板球。他不用表和鋼筆；除非緊急情況，不用電話。

　　哈代是純得不能再純的純數學家，曾無懈可擊地證明了質數的 無限性和2的平方根是無理數，卻對應用數學毫無興趣。他在「一個數學家的自辯(A Mathematician's Apology)」中說，純數學有美感。而只有美的東西才能永恆。他認為應用數學並無美感，故不可能永恆，雖然有用，但也同樣有害。二次大戰時，他的長期 合作夥伴李特伍德也參與了軍方研究項目。反戰的哈代頗有微辭：「象李特伍德這麼好的數學家都沒辦法使彈道學更體面一點兒，遑論他人？…純數學固然無用，但 也無害呀。」

　　儘管如此，哈代還是沒能逃脫應用數學的「厄運」。1908年，當人們正在討論族群中顯性因子和隱性因子分佈的比例是否會 因世代相傳而有所改變時，哈代給「科學」雜誌寫了封信，三言兩語就把問題說清楚了。這就是著名的哈代-溫伯格定理，--任何數量遺傳系的大學生都必修的應 用數學。

　　哈代死後，有人特地收集哈代數學在各個領域獲得的應用，包括哈代-溫伯格定理和用在密碼學上的數論，出了一本書。因為哈代生前太愛開玩笑並擠兌應用數學，故書名就叫最令哈代氣短的《應用數學家哈代》。

　　自從徐遲把陳景潤寫進報告文學，哥德巴赫猜想便廣為中國人所知。1742年普魯士數學教師哥德巴赫寫給瑞士大數學家歐拉的信中提出一個猜想：「任一大於或等於4的偶數都可寫成兩個質數之和」。比如

    4 = 2 + 2
    6 = 3 + 3
    8 = 3 + 5
    10 = 3 + 7 = 5 + 5
    12 = 5 + 7
    14 = 3 + 11 = 7 + 7
    …
    100=3+97
    …

　　簡稱1+1。這裡的1代表一個質數。

　 　順便說一句，哥德巴赫猜想最初表述為「任一大於或等於5的整數都可寫成三個質數之和」。質數定義為「僅能被1和自身整除的數」。因1本身也符合這個條 件，故早期1也算質數。但因1的本身和1重合，後來數學界又摒1於質數之外，就如前幾年天文學界摒冥王星於九大行星之外，《水滸》摒晁蓋於108將之外似 的。從那以後，哥德巴赫猜想便採用了現在這種表述。

　　除了2以外，所有質數都是奇(單)數。因為偶數都能被2整除。任何偶數都可以分為兩個奇數的和。這沒必要證明。但這兩個奇數都可以是質數，便是必須要證明的哥德巴赫猜想。

　　因哥德巴赫猜想難以證明，多年來數學家採用迂迴戰術，從外圍層層突破，先後證明出…1+5、1+4、1+3、1+2，似是攻到了敵方陣地的前沿。但好像陳景潤證明的1+2仍有漏洞，未被國際數學界所承認。

　 　1900年希爾伯特在巴黎國際數學家大會上開列出的23個未解題中與哥德巴赫猜想並列的還有黎曼猜想。黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826～1866)是高斯的學生。愛因斯坦廣義相對論說的時空彎曲，用的就是黎曼幾何。

　　解析數論有個Zeta（ζ）函數。如果用π(n)來表示小於n的所有質數（素數）的個數，則質數出現的頻率π(n)/n趨於n的自然對數的倒數。

　　Lim[π(n)/n] = 1/ln(n)
　　n→∞

　　沒什麼規律的素數論和解析函數聯繫了起來。

　　下面是10000以內1230個質數的部分黎曼ζ函數值：

        質數n   π(n)   π(n)/n         1/ln(n)         π(n)/n:1/ln(n)

           1       1    1.000000        ∞                    0
           2       2    1.000000        1.442695        0.693147
           3       3    1.000000        0.910239        1.098612
           5       4    0.800000        0.621335        1.287550
           7       5    0.714286        0.513898        1.389936
          11       6    0.545455        0.417032        1.307943
          13       7    0.538462        0.389871        1.381127
          17       8    0.470588        0.352956        1.333277
          19       9    0.473684        0.339623        1.394734
          23      10    0.434783        0.318929        1.363258
          67      20    0.298507        0.237830        1.255132
         109      30    0.275229        0.213158        1.291197
         167      40    0.239521        0.195389        1.225867
         227      50    0.220264        0.184333        1.194923
         277      60    0.216606        0.177809        1.218199
         347      70    0.201729        0.170960        1.179979
         401      80    0.199501        0.166835        1.195803
         461      90    0.195228        0.163042        1.197410
         523     100    0.191205        0.159755        1.196861
        1217     200    0.164339        0.140763        1.167485
        1979     300    0.151592        0.131746        1.150634
        2731     400    0.146466        0.126384        1.158905
        3559     500    0.140489        0.122291        1.148811
        4397     600    0.136457        0.119208        1.144691
        6131     800    0.130484        0.114664        1.137969
        6991     900    0.128737        0.112964        1.139628
        7907    1000    0.126470        0.111414        1.135134
        8821    1100    0.124702        0.110073        1.132908
        9721    1200    0.123444        0.108908        1.133469
        9803    1210    0.123432        0.108809        1.134391
        9883    1220    0.123444        0.108713        1.135511
        9973    1230    0.123333        0.108606        1.135605
   
　　黎曼猜想是一個關於ζ函數性質的猜測，不太容易用非數學語言敘述，故也沒什麼中學生膽敢自報奮勇求證。如果把黎曼猜想比作大學生作業的話，哥德巴赫猜想就相當於中學生作業，費爾馬大定理好比小學生作業。

　　當年希爾伯特被問到，如果他忽然睡著了，五百年後醒過來，第一個想知道的是什麼事？
　　
　　希爾伯特說，他第一個想知道的就是黎曼猜想到底證出來沒有。

　　哈代是個無神論者，經常和命運開玩笑。每次訪問丹麥數學家玻爾（H. Bohr，1887－1951；物理學家N. Bohr之弟）后，要乘船渡過波濤洶湧的北海回國。每次登舟前，哈代都會給玻爾寄個明信片，上面寫道：「我已經證明了黎曼猜想」。

　　明信片的空白當然太小。證明過程自然寫不下了。

　 　因為哈代和玻爾都在求證黎曼猜想的前沿。以哈代的數學功力真有可能證出黎曼猜想。如果他不幸遭遇海難，則因死無對證，後世無法否認（當然也沒法確認）哈 代真證出了黎曼猜想。而如果平安到家，哈代又何妨坦承寄給玻爾的明信片不過是又一次玩費爾馬式惡作劇的典故，無傷大雅。

　　1947年哈代病倒了。皇家科學院準備頒發給他最高榮譽的考伯雷獎章。他跟老友斯諾說：「我已經接近人生的終點。當大家匆忙決定給你一個最高榮譽時，只可能有這麼一種理解。」

　　1947年12月1日預定頒獎的當天，玩世不恭的哈代離開了人世，和準備給他頒獎的所有人開了最後一個玩笑。

　　2000年5月24日，美國克雷數學研究所仿照100年前希爾伯特的做法提出千禧年新的七大數學難題。每題懸賞一百萬美元。當年希爾伯特提出的23道題中僅有黎曼猜想一道再度入選。


20090818，滿山秋色

* 文中細節主要參考台大數學系教授曹亮吉發表在科學月刊上的文章。特此申明。

很佩服作者，是個「大家」，了不起。本人自初中起偏愛數學，後來自感天賦不足，只好另謀他路某生。

好文章！ 不過質數的無限性和2的平方根是無理數早在古希臘時代就已經被證明了， 不該有勞哈代這樣的現代數學大家了吧。