量子力學基礎講座（1——6）

前一段時間發在其他論壇的文章，以後慢慢往這裡搬，我喜歡這裡的論壇結構。

歡迎探討：）

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量子力學基礎講座（一）         

量子力學是用來描述微觀粒子的運動狀態的，在量子力學的根本哈根解釋里，有一個概念叫做「觀測者決定」，意思是，在量子世界里實際發生什麼事，依賴於我們打算如何觀測它。換句話說，世界不再是獨立存在的，它依賴於你想看到些什麼。實在部分地由觀測者創造。物理學家把這種與日常生活感知不同——沒有客觀性，沒有決定論，觀測者部分地創造實在——稱為「量子怪異」。

這種量子怪異很難理解，於是有些人僅僅是從初等的科普讀物上獲得了有關量子力學的粗淺概念，然後就開始隨意發揮，在夜深人靜的輾轉反側中迸發出「靈感」，進而以大躍進般的豪情和勇氣，開始構建以臆想為基本素材的「理論框架」。一個著名的笑話是有基督徒稱「信了十多年基督教，後來認識了量子力學，知道了原來是觀測者創造事實，於是脫離基督教」，云云。

脫離不脫離基督教，不是我想討論的，只是考慮到這樣的理由太弱智，太不把現代物理當回事。於是，為了捍衛科學的尊嚴，我決定站出來，給大家科普量子力學。

下一講：怪異是如何產生的

（待續）

量子力學基礎講座（二）         

造成量子怪異的原因是什麼？是因為量子運動的隨機性。電子不遵循任何經典的物理定律，它的活動完全是隨機的，我們只能描述它運動的概率，例如，我們只能說一個電子在空間A處出現的可能性是，比如，20%，在空間B處是30%，但是，我們永遠無法確定這個電子究竟在那裡出現，只能給出一個概率。

好啦，現在我們知道，原來這一切的怪異，根本原因就出在隨機性上。隨機，一個數學概念么。為了調動大家的學習積極性，就給網友們布置一道作業：

隨機的數學定義是什麼？

下一講：隨機

（待續）

量子力學基礎講座（三）         

大家都知道，數學是以嚴謹著稱的。在數學里，任何一個概念都有明確的定義，但是，隨機性除外。你能在數學書里找到的定義，都是含糊其詞，吞吞吐吐的。與此相關的概率，也沒有精確的定義。

怎麼會這樣，給出一個精確的定義很難么？都21世紀了，人還有什麼想不到的！

但是，的確沒有。因為隨機的本質就是完全的混亂，如果能夠精確的定義隨機，也就否定了隨機。試想，你怎能把一種混亂精確地描述出來？如果你能精確地描述，那就不是混亂了。

所以，數學家在隨機性和概率方面，採取了一種，嗯，實用主義的做法：只是具體操作，他們只給出操作的定義，而關於隨機性定義的本身，這是數學家不討論的。

看看，以數學的嚴謹，在隨機性面前依然是碰壁。

今天就這麼多了。

下一講：有趣的隨機。

量子力學基礎講座（四）         

（昨天講座之後，有網友說他不能完全同意「隨機的本質就是完全的混亂」 之說，並認為在物理世界，沒有完全混亂的現象。這種看法是相當幼稚的，原子核在什麼時候什麼地點衰變，就是完全隨機的；原子核里電子的能級越遷就是隨機的；氣體分子的運動就是隨機的。這些微觀粒子的運動都是雜亂無章、完全混亂、隨機的，無法精確地描述，只能給出概率。

還有網友問：「如果我們的時間可以運行得慢10的N次方倍,(或者說我們的檢測儀器的速度可以提高10的N次方倍), 慢到電子繞一圈相當於人過一年的感覺, 我們人能小10的N次方倍, 小到電子相對我們象月球相對於人小到我們觀測儀器對被觀測物的影響可以忽略. 在這種假設條件下, 我們能不能發現規律呢?」

請注意，我們討論的是基本粒子的運動情況——量子，已經無法再分，所以上述說法只是幻想，而且，如果人縮到那麼小，本身也受到測不準原理的制約——也就是說，那時我們不知道自己在那裡了。

以上簡答。）

好了，我們現在知道，隨機是一種完全的混亂，絕對不能定義。我們還知道，所謂的量子怪異，起因就是量子運動的這種隨機性。那麼，為了搞清量子力學究竟是什麼，我們就必須對隨機性做進一步的了解。概率論的奠基人拉普拉斯曾說過：「生命中最重要的問題，就大部分而言，實際上只是一個幾率問題。」所以大家不要以為我把講座內容搞錯了，了解隨機性，對形成正確的人生觀是有幫助的。

對於隨機，大家並不陌生，最簡單的就是擲硬幣，一個硬幣拋出后，正反兩面出現的幾率各是一半，加起來是1。幾率為1就是肯定，意味著：你擲硬幣，正反兩面總有一面會出現的——這就是幾率分佈。

嗯，看來這個例子太簡單，不能詳細地展開討論，我們下面用擲骰子來進一步說明。

（待續）

量子力學基礎講座（五）         

現在假設你有兩顆骰子，每個骰子有六面，刻著1——6的數字。那麼兩顆骰子任意一面的和是2——12。

現在拋出骰子，如果加起來的和是2，只有一種方式，兩個骰子都是數字1，每個骰子擲出1的可能性是1/6，兩顆都是1的概率就是1/6 * 1/6 = 1/36。兩個骰子的和是3有兩種方式，第一顆是1第二顆是2，或者，第一顆是2第二顆是1，那麼概率就是1/36 * 2 = 1/18。以此類推，4是1/12，5是1/9，6是5/36，7是1/6，8是5/36，……，有興趣的同學可以自己演算。

我們得到了一張幾率分佈表，雖然，我們每次擲出骰子時，我們不能預見究竟是哪一面朝上——單個事件的隨機性，但是，我們可以得出它們的幾率分佈，並且，這種分佈是非常穩定的、客觀的。值得注意的是，為什麼7出現的次數最多？好像是有看不見的引力吸引著骰子，當然，幾率分佈是非物質的，但是，它就像是幕後操作的黑手，只要你擲出骰子，就逃不出這樣的幾率分佈。

幾率分佈的這種客觀性，很容易引起誤解。它給人一種印象，好像是分佈決定了單個事件，每個事件必然落進分佈的模式里，這其實就是我們熟悉的宿命論的觀點：相信幾率分佈會影響到單個的事件。但是，這是錯誤的，因為單個的事件決定幾率分佈，而不是反過來。舉個例子，你在骰子里灌水銀，幾率分佈就變了。

很有意思的是，幾率分佈對人類的自由意志意味著什麼？

我們下一講繼續。

量子力學基礎講座（六）         

前面我們講了幾率分佈的客觀性，以數學的精確方式，批駁了宿命論的觀點。下面我們繼續看看幾率分佈的穩定性。一個穩定的分佈是不會隨著時間變化的，比如，我們前面得出的那張擲骰子的幾率分佈，不會今天這個樣，明天那個樣，它是不變的，這叫平衡分佈。只有當一個非隨機的因素被引入后，才會影響分佈的穩定性，比如，在骰子里灌水銀。

幾率分佈的這種穩定性，給人的自由蒙上了一層悲觀主義的色彩。舉個例子，在信仰論壇，有人支持基督教，有人反對基督教，並且在這個問題上有人激進，有人平和等等，從個體的角度看，這裡的每個人都享有絕對的自由，但是實際上，你的行動只是幾率分佈的一部分。這是因為，在一個社會裡，人群的宗教傾向是有確定幾率的，從個體上看來是自由的東西，從整體上來看是必然的。比如那個被拋出的骰子，假設骰子象人一樣有思想，那麼，它可能會想它有翻出任意一面的自由，這不要緊，無論它怎樣翻，最終都在我們算出來的幾率分佈之內，即使那顆骰子採取粉身碎骨的方式，也只不過是落入了一個新的分佈而已——擲碎骰子也是有確定概率的。

由此可見，真正的自由是多麼地難得，成千上萬的幾率分佈，把我們牢牢地束縛住了，控制了我們的行為和思想。

我們馬上就要回到物理討論了，大家都聽說過「上帝在擲骰子」這句話，但是，這句話的真正含義又有多少人了解？

在進入哥本哈根解釋之前，我們還要先看看什麼是熱力學第二定理。

（待續）

隨機性的數學定義——補充         

我昨天帖子里說，隨機性在數學里沒有定義，很多網友不解，什麼「數學界的共識」啦、「絕對混亂不存在」啦，等等，不一而足。

沒什麼奇怪的，隨機的本質就是這麼不可捉摸，不能理解是正常的。

作為補充，我現在換一種說法。大家都知道隨機數，比如，327509321217309709216543298754329874309439………………就是我方才隨手敲的一串數字。

那麼，現在有那位網友可以說出一套規則，通過這套規則，一定可以產生隨機數？

這套規則，其實就是隨機性的數學定義。

可以負責地說，如果你能做到，你發財了。

不進一步理解隨機，就不能對量子力學有更深的理解——量子力學的哥本哈根解釋，本身就是超現實主義的。

[ 本帖最後由 冷不丁 於 2006-10-9 21:30 編輯 ]

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由物理引發的哲學探索多於牛毛.
物理中最牛的就是量子力學.

隨機——隨機的數學定義好像是有的，我聽過的大概是這樣：一個有限長序列，內部沒有規律性重複，唯一的規律性存在於外部，即其自身的重複，比如樓上的那串數，設其為X，那麼集XXX就不再徹底混亂了（三個等價序列並列）。如果我們用字串序列X(L)中的數來擲色子(L是序列X的長度)，一次一個，3,2,7,5,0,9,..., 直到第L個數，那麼從第L+1個數開始，擲色子結果開始呈現規律性。

現在增加字串序列X的長度L，越長，其內部的混亂程度越高，隨機性越強；當L足夠大時，「一次一個數」地擲色子，絕對用不完，那樣，我們就會有一個實用的隨機數序列X(L>N)，N是一個足夠大的正整數，但還不是無窮大。

完全隨機數序列的定義是：X(L->無窮大)。

[QUOTE=Adelyn]隨機——隨機的數學定義好像是有的，我聽過的大概是這樣：一個有限長序列，內部沒有規律性重複，唯一的規律性存在於外部，即其自身的重複，比如樓上的那串數，設其為X，那麼集XXX就不再徹底混亂了（三個等價序列...[/QUOTE]

你說的這個定義非常恰當地說明了：隨機無法定義。

所有關於隨機的數學定義都是含含糊糊、語焉不詳的，比如你上面的定義。請問什麼叫做「內部沒有規律性重複，唯一的規律性存在於外部」？什麼叫做「集XXX就不再徹底混亂了」？這個「混亂」的度是什麼？

數學定義的特徵就是精確，但在這裡，我們看到是數學家關於隨機這個概念的哲學描述。

簡單點說，你上述的定義不是數學的，因為，既不能按照這個定義產生隨機數，也不能用這個定義檢驗一串數字是否為隨機數，比如圓周率，按照你上述的定義，它一定是隨機數，因為它滿足你的定義，但，實際上，圓周率不是隨機的，它是可以通過公式產生的。你看，你的定義什麼也做不到。

就連我這個學習文科的高等數學盲都看懂了簡易的量子物理學。呵呵呵。有意思。

說不定上帝真的會擲色子。但是，這個色子多半不是三維空間的六面體。

量子物理的隨機性並不能說明生命，宇宙等等事物的起源。畢竟，我們看見的世界是1，而通過隨機性出現生命，或者出現宇宙的可能性是1x10-70次方。

我不是一個喜歡追究的人。所以，我絕對不會抓住微乎其微的不足來反對其他我已經真實見到的事物。

對了，大家是否接受宇宙起源的「大爆炸」論？

[QUOTE=冷不丁]你說的這個定義非常恰當地說明了：隨機無法定義。

所有關於隨機的數學定義都是含含糊糊、語焉不詳的，比如你上面的定義。請問什麼叫做「內部沒有規律性重複，唯一的規律性存在於外部」？什麼叫做「集XXX就不再徹底混亂了」？這個「混亂」的度是什麼？

數學定義的特徵就是精確，但在這裡，我們看到是數學家關於隨機這個概念的哲學描述。

簡單點說，你上述的定義不是數學的，因為，既不能按照這個定義產生隨機數，也不能用這個定義檢驗一串數字是否為隨機數，比如圓周率，按照你上述的定義，它一定是隨機數，因為它滿足你的定義，但，實際上，圓周率不是隨機的，它是可以通過公式產生的。你看，你的定義什麼也做不到。[/QUOTE]
有限長序列是不可能真正混亂無秩，或完全隨機的。現在再舉一個例子：

X(L=2)={1,3}，這是一個序列，包括2個最小的素數，即自然數，整數，大於零，只能被自身和1整除，相連——而這些就是規律。所以{1,3}的混亂度很低，是一個非常「不隨機」或者說很「有秩序」的例子。

現在我們用素數的性質，用迭代法造一個擲色子機，x'=R(x,N)，可以用N次，由此產生一個N長的串序列X(L=N)。這樣的擲色子機要求素數越大越好。其實，密碼的產生和破譯，關鍵都在一個大的素數和一個高效率的擲色子機。用完全隨機數列做成的密碼是破解不了的，通常的商業用128數位密碼，也足夠「混亂無序」，難於破譯了，當然還可以更混亂更難破譯一些。

隨機數的產生能力，與擲色子機的效率有關，但最後取決於最大已知素數。

其實這個X(L=2)序列也可以用在氫原子的電子模型里，只要把序列的元素換成{1/2,-1/2}就行。2個電子放在一起，它們的運動可不是隨機的，必須服從泡利不相容原理。

量子空間位置的隨機性，跟量子的波動性有關。量子的位置測不準，就是因為量子同時也是波，而波在空間由於振動，所以是彌散的。描寫量子運動的方程式，在數學上是用來描寫波動的，也說明這一點。從波動性看量子在空間出現的隨機性，就很自然，不覺得奇怪了。這是用波解釋量子運動的方便之處。

[QUOTE=Adelyn]有限長序列是不可能真正混亂無秩，或完全隨機的。現在再舉一個例子：

X(L=2)={1,3}，這是一個序列，包括2個最小的素數，即自然數，整數，大於零，只能被自身和1整除，相連——而這些就是規律。所以{1,3}的混亂度很低，是一個非常「不隨機」或者說很「有秩序」的例子。

現在我們用素數的性質，用迭代法造一個擲色子機，x'=R(x,N)，可以用N次，由此產生一個N長的串序列X(L=N)。這樣的擲色子機要求素數越大越好。其實，密碼的產生和破譯，關鍵都在一個大的素數和一個高效率的擲色子機。用完全隨機數列做成的密碼是破解不了的，通常的商業用128數位密碼，也足夠「混亂無序」，難於破譯了，當然還可以更混亂更難破譯一些。[/QUOTE]

無論你採取什麼手段，都無法產生一個真正的隨機函數。因為隨機數沒有數學的嚴格定義。現在用到的隨機函數都是「偽隨機」，也包括你上面提到的這個方法。而「偽隨機」是可以破解的。

真正的隨機數無法破解。

[QUOTE=冷不丁]無論你採取什麼手段，都無法產生一個真正的隨機函數。因為隨機數沒有數學的嚴格定義。現在用到的隨機函數都是「偽隨機」，也包括你上面提到的這個方法。而「偽隨機」是可以破解的。

真正的隨機數無法破解。[/QUOTE]
你這話說得胡塗。不是「真正的隨機」，是「完全隨機」。不懂就不要亂說。

先考考你，隨機是什麼數學分支的概念？那個分支跟數學的其他分支有多少聯繫？

另外你說的「隨機」到底是什麼意思，給個文字上的表述吧？精確一點，多點數學味兒。

哈， 有意思，成可親大學了。。。

[QUOTE=Adelyn]你這話說得胡塗。不是「真正的隨機」，是「完全隨機」。不懂就不要亂說。
先考考你，隨機是什麼數學分支的概念？那個分支跟數學的其他分支有多少聯繫？
另外你說的「隨機」到底是什麼意思，給個文字上的表述吧？精確一點，多點數學味兒。[/QUOTE]

就算我不懂，就算我在亂說吧：）

但是，即使我不懂，隨機依然沒有數學定義，這一點毫無疑問，對數學有點了解得都知道這個常識。很簡單，如果隨機有嚴格的數學定義，就一定能通過這個定義制定一套機制，通過這套機制可以產生隨機數，可是，真是通過一套機制產生的數，一定是不隨機的，這其實就是我說的隨機函數。

你的前貼里說的那套定義，我可以給你簡化：現在有一個黑箱，箱裡面有十個標者0——9的小球，每次從裡面任意拿出一個球，記下號碼，再放回箱里，使勁搖，重複這個過程。

把記下的號碼連接起來，得出的一定是一個隨機數，但是，這不是數學定義。而且，你還沒告訴我圓周率按照你說的那套規則，是不是隨機數，它完全能通過你的檢驗么，但圓周率是隨機數么？

隨即是什麼？我的描述是：隨機是無法定義、無法描述、無法預測的一種絕對混亂。

滿意么？

別生氣，你一定不是理工科的，沒經過數學語言和思維的訓練，所以說起話來總讓人感覺模胡。

無論是搖象牙球還是搖色子，都是在說一種操作，目的是製造「無秩序的等價分離事件」，讓它們按順序出現，形成一個「序列」（序是分先後，列是串起來）。

「分離」就是可以被一個一個地處理。「等價」就是色子必須作得完全均勻，沒有任何一面是特殊的。「無秩序」就是必須「搖」到新結果與前面的結果不相關。暫不討論色子的製作材料和工藝，只講一下「搖」。搖色子是一個什麼過程？一個完全的經典力學過程，精確服從牛頓定律。所以每一下搖動的結果可以預測！現在要結果呈現「無秩序」，即不可測，就有點為難了。

人的大腦通過肌肉收縮控制「搖」的動作，有太多的「偶然因素」參於其中，所以結果也變得偶然起來。什麼是「偶然」？先不要問這個問題，問了會導致「循環定義」。咱們另走一條路，說「偶然」是一種經驗，雖然不能被嚴格證明，但可以經過實驗證實，當然這些實驗本身都是有缺陷的。

好了，既然經驗證明，只要搖得次數多（「拖」的時間長），就能產生偶然的事件，前後互不相關，那我們就能給「隨機」一個定義，即「搖色子」的結果（是「結果」而不是「搖」）。

但是請記住，這不是數學定義，是經驗定義，原因是「搖色子」要求其過程中必須有「偶然因素」參予，也就是必須有「隨機因數"參予。你看，這麼一「必須」，不就一個圈子又兜回來了嗎？

也許有人會說，只要把實驗做得一點缺陷也沒有，不就成了？但這個問題太大，是「宇宙級別」的：搖色子的實驗，只能在開放系統里做，不能在封閉系統里做，因為任何封閉系統都是有限的，解一個大的有限元經典力學方程式，搖色子的結果就可以準確預測了。這就是說，要想產生完全的偶發事件，完全的隨機數，必須在一個全宇宙那麼大的「盒子」里才能「搖」出來。而破解這樣的「隨機密碼」，非求解「宇宙方程式」不行！

隨機的定義離不開操作，而操作總是不完美，所以隨機數總是不完全「隨機」，總是「偽」的，這是定義上的缺陷，「與生俱來」。所以概率論與經典數學只能算遠房親戚，反而跟機械工程、自然科學比較親近（彼此都依靠經驗、實驗）。

所以，科學家說「上帝擲色子」。的確，這隻有上帝才配，而人永遠擲不出完美的結果，所以也得不到完全的隨機數。

附：關於圓周率的無理數(irrational)表達，雖然無窮長，但仍然不是完全隨機。原因很簡單：PI是一個精確數學解，而（完全）隨機數列無解。

樓上的真厲害啊，你都用數學嚴格定義了隨機，卻沒獲得菲爾茲獎。

看來不是那些數學家瞎了眼，就是你的定義太「文科」了：）

原帖由 冷不丁 於 2006-10-5 03:34 發表
樓上的真厲害啊，你都用數學嚴格定義了隨機，卻沒獲得菲爾茲獎。

看來不是那些數學家瞎了眼，就是你的定義太「文科」了：）

呵呵，到底還是生氣了，那也不必。有不同看法，盡可以提出來，大家切磋探討，一起加深理解，難道不比說氣話好？

另外，「用數學嚴格定義了隨機」是不可能的！——而這正是11樓帖子的重要一點，是要跟你說明，「混亂」的概念是從經驗中得來，「隨機」建立在經驗之上，只是借數學工具來用用而已，這一點跟自然科學是一樣的。不能當真認為有數學意義上的完全隨機，就像宇宙的「絕對混亂」要在宇宙膨脹結束，宇宙坍縮未開始之際，才能達到一樣。

隨機既然是經驗，就應該在實際中使用。在實際使用中，不求完全隨機，只問是否「足夠」隨機。只要「足以敷用」，就不必問是否「真正」或者「完全」了。

用數學嚴格定義了隨機是不可能的！借數學工具只能用來描述概率。隨機和概率是兩個不同的概念，概率是可以藉助數學工具的，隨機不行。

另外，再糾正你一個錯誤，電子的運動就是「數學意義上的完全隨機」，只是無法用數學來描述，只能用幾率。還有，你有一個帖子里提到的「把電子想象成波什麼的」，也有問題，薛定諤方程描述的是電子的幾率波，而不是普通意義上的波。

P.S. 我沒生氣，也請你稍安勿躁：）

原帖由 冷不丁 於 2006-10-5 14:58 發表
另外，再糾正你一個錯誤，電子的運動就是「數學意義上的完全隨機」，只是無法用數學來描述，只能用幾率。還有，你有一個帖子里提到的「把電子想象成波什麼的」，也有問題，薛定諤方程描述的是電子的幾率波，而不是普通意義上的波。

請稍安勿躁，有話慢慢說。

你不是理工科出身，講數學和自然科學，就應該更加慎重，這話沒錯吧？

先說第一個著了紅色的。不是「運動」，是「位置」。不是「數學意義上的完全隨機」，而是「在某一空間位置出現的幾率，按隨機分佈」。明白「完全隨機」和「機率按隨機分佈」的區別嗎？

在說第二個著了紅色的。從波粒二象性的概念，電子的物理性質是雙重的，既表現為「顆粒」也表現為「波動」。在數學上，這就是海森伯的矩陣描述與薛定諤的波動描述等價。知道這兩種描述，明白說它們是「數學等價」的意思嗎？

最後，順便請你解釋一下，為什麼電子是「幾率波」，而不是「普通意義上的波」？這個問題，我們學校的講座物理教授也沒說清楚，要是你能夠，那真是太好了。

第一、你說不是「運動」，是「位置」，我承認，我表達的不夠精確，正確的表達是：「電子在空間某一位置的出現是隨機的，可以用幾率波描述」，一般說法是「電子運動是隨機的」，引起誤解，是我的錯，但是，不影響我表達的意思：隨機沒有精確的數學定義；

第二、德布羅意提出波粒二象性，薛定諤據此推出薛定諤方程，這兩人都認為電子的這種波動是一種物質波，如你賣弄的那些詞藻，但是，這是錯誤的，電子的這種波動是幾率波。就算我不是「理工科出身」，不是你們學校講座物理的教授，也可以提醒你查一查什麼是「波恩機關槍」，看過以後你就明白了。還不懂，就仔細考慮一下什麼是「勢壘貫穿」，如果電子是物質波，那裡會有「勢壘貫穿」這種現象？

第三、對迪拉克方程的意義，「等價」你是理解對了，但是解釋全錯。

既然錯了，承認就好。

另外，鑒於你已承認自己不是「理工科出身」，我就再奉勸一句，請在談數學和自然科學時，特別謹慎發言，不要輕易評判別人對錯。必須明白，你基本上是在以一個外行的身份討論問題，不能自高自大地動輒說這個錯那個錯了。其實，你不說數學，不說量子論還好，我也許就被你蒙了；但你說了，我也就明白你哪兒外行了。

「勢壘貫穿」是波粒二象性的一個例子。重複一遍，電子既是量子又是波，希望下次不要再弄錯了。

另外，我真誠地希望有懂數學和物理學的網友願意來參於，以使討論能夠深入。激將一句，可別讓我覺得 可親沒人啊！

[ 本帖最後由 Adelyn 於 2006-10-7 07:49 編輯 ]

算了，不和你爭了，既然你感覺那麼好，看看你的帖子是怎樣出醜的吧，「在某一空間位置出現的幾率，按隨機分佈」，第一次聽說，還是「理工科出身」的說的，佩服。德布羅意波是幾率波都沒搞清……居然倔強到一定認為隨機有數學定義……無知啊。

算了，我也不再諷刺你了，別以為這論壇就你一個人學過物理。

真奇怪，你那來那麼好的感覺？

[ 本帖最後由 冷不丁 於 2006-10-7 08:14 編輯 ]

然也...