一道引起全美大學生舉國辯論的邏輯題

[CENTER]一道引起全美大學生舉國辯論的邏輯題
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發帖人：帥得→想毀容 發帖時間:2006-04-07

假設你在進行一個遊戲節目。現給三扇門供你選擇：一扇門後面是一輛轎車，另兩
扇門後面分別都是一頭山羊。你的目的當然是要想得到比較值錢的轎車，但你卻並
不能看到門後面的真實情況。主持人先讓你作第一次選擇。在你選擇了一扇門后，
知道其餘兩扇門後面是什麼的主持人，打開了另一扇門給你看，而且，當然，那裡
有一頭山羊。現在主持人告訴你，你還有一次選擇的機會。那麼，請你考慮一下，
你是堅持第一次的選擇不變，還是改變第一次的選擇，更有可能得到轎車？

《廣場雜誌》刊登出這個題目后，竟引起全美大學生的舉國辯論，許多大學的教授
們也參與了進來。真可謂盛況空前。據《紐約時報》報道，這個問題也在中央情報
局的辦公室內和波斯灣飛機駕駛員的營房裡引起了爭論，它還被麻省理工學院的數
學家們和新墨哥州洛斯阿拉莫斯實驗室的計算機程序員們進行過分析。

[B]現在，請你來回答一下這個問題。[/B][/CENTER]

[FLY]概率課的時候我們老師出了這樣一道題目：
一個家庭里有兩個孩子 一個孩子是女生
已知生男生女的概率同為50%
問：另一個孩子是女生的概率是多少~~~

幾乎全班都寫下答案是50%
但是正確答案是1/3

老師給的解釋是：
事情的主體有四種情況：
男男 男女 女男 女女

其中一個是女孩，
情況有三種即 男女 女男 女女。
另一個孩子是女孩的概率則為1/3


這道題目是本校的練習冊上的。
這個解法和答案流傳了很多很多年了。
但是是正確的嗎？？

生物學上來說生男女的概率就是50%。毋庸置疑的
可是數學上面來講能這樣么？？
這是詭辯么？誰給個正解？？[/FLY]

我覺得是詭辯。是概念置換。從概率上講，你們老師是對的。因為從結果上來講，任何選擇都是50％的概率，既「是」 與「不」。你買彩票，無論中獎概率是多小，對個人來講，就是「中」與「不中」。

主持人先讓你作第一次選擇。在你選擇了一扇門后，知道其餘兩扇門後面是什麼的主持人，打開了另一扇門給你看，而且，當然，那裡有一頭山羊。

不明白黑體字部分的意思。

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關於二樓所提到的事情，我的觀點顯然是這位概率論老師的分析方法存在問題。
但是從理論上來直接證明，有點難度，也不容易說清楚。我用兩個方法來反證：

1.首先解釋正確的解題方法和答案，該題目可以等效考慮為下列問題：
假設在馬路上設有一扇門，通過男性或者女性的幾率均等，那麼一位女性通過該門后，下一位通過該門的女性概率為多大。
顯然計算這個概率的時候，「已有一位女性通過該門」和「下一位通過該門人的性別」兩個事件不是關聯事件，沒有因果聯繫。並不用考慮剛才已過去的那個人。答案應該為50%

2.用該老師的的分析方法來正確分析問題。

為說明問題方便，先設
G男男 為出現男男事件的概率；
G男女 為出現男女事件的概率；
G女男 為出現女男事件的概率；
G女女 為出現女女事件的概率。
顯然 G男男:G男女:G女男:G女女=1:1:1:1 。（這已經被大家所接受，不做進一步分析）
下面來具體解題，我們知道 具體事件的概率=該事件發生概率/所需要考慮的所有事件發生概率之和；通常情況（樣本選取合理，事件不會被重複計算）下也等於：發生事件總量/事件樣本總量
問題就是出在這裡。那位老師的錯誤正是出在對事件樣本總量分析不合理。因為他選取全樣本的時候，無意間複雜了問題的分析。選取：「男男 男女 女男 女女」為全樣本，來分析這個問題，他帶入了一個本身不需要考慮的一個因素，就是兩個孩子之間的先後出生順序。那麼用這個全樣本來考慮問題的時候，也要用更完全的方法來分析。也就是要考慮到另外一個本來可以不考慮的限制條件，從中抽取出「一個孩子是女生」

這時候，「所需要考慮的各類事件發生概率之和」應該考慮到全樣本中，具體樣本出現的不同概率。
男男事件樣本中從兩個孩子隨機選一個孩子出來，為女孩的概率為  0%
男女事件樣本中從兩個孩子隨機選一個孩子出來，為女孩的概率為 50%
女男事件樣本中從兩個孩子隨機選一個孩子出來，為女孩的概率為 50%
女女事件樣本中從兩個孩子隨機選一個孩子出來，為女孩的概率為100%

所以正確的概率應該為：女女事件發生概率/男男 男女 女男 女女事件發生概率之和

=G女女*100%/（G男男*0%+G男女*50%+G女男*50%+G女女*100%）=50%

補充一下：
其實問題的關鍵在於這道題目的話語不夠準確，存在有不同的理解方法。

多數人的理解應該是：在有兩個孩子的家庭中，隨機抽取到一個孩子為女孩，那麼另外一個孩子為女孩的概率是多少？ 答案為50%

也可以理解為：在至少有一個孩子為女孩的兩孩子家庭中。兩個孩子都為女孩的概率是多少？ 答案為33.3%即1/3

還可以根據附加條件，等效理解為：已經有一個女孩的家庭，再生一個孩子組成兩孩子家庭，生女孩的概率是多少？ 答案也為50%

不知道講清楚了沒有，我倒是越來越糊塗了。中文實在是太博大精深了。 [:461:]

簡單說，就是第一和第二種理解的樣本總量是不同的。因為男女和女男被採用進全樣本的概率，隨不同的理解而不同。

嗯,樓上說的是有道理的,這問題的關鍵是從哪個總量來看待問題.

假設扔一個硬幣,你猜正面,猜中的概率是50%.無論扔多少次,每次猜中的概率都是50%,但是如果總整體來說,你連續扔10000次如果都不是正面,那必然的猜中正面的可能性越來越高,絕對就不是50%.不過通常來說,從整體來考慮是較為常用的思考方法.

暈了

我有一道比較相似的題目，大意是這樣的：有一顆鑽石藏在A、B、C三個小盒子里，我知道在哪個盒子里，你不知道。這時，你先挑選一個盒子，但不許打開。我在桌上剩下的兩個盒子里打開一個空盒子給你看。（也就是說，我幫你在桌上的兩個盒子里去掉了一個肯定沒有鑽石的。）問：如果現在給你一個機會，用你手裡的盒子交換桌上剩下的那個盒子，你會不會交換？

大家來說說！

這還憂鬱？本來３選１的題，變成２選１，勝算幾率更大了，隨便選一個

我覺得這個沒有什麼意思哦??

應該是換不換門的中轎車概率是一樣大。
第一次選擇一個門，有三分之一的概率，但這時和中轎車無關。
在主持人排除了一個門后，剩下的選擇中獎概率為50％，這時在選擇任何一個門的中獎概率各為50％。

暈

永遠是50%，換不換是一樣的。

當然是在選沒有打開的那個門了.

如果這樣說就好理解了
100個門,一輛車, 99頭羊.你先選一個門, 然後給你打開98個有羊的門,你說最後那個門後面有車的可能性是不是更大?

三個門是33% vs 50%
一百個門是1% vs. 99%

原帖由 goneleaf 於 2006-12-29 10:44 發表
當然是在選沒有打開的那個門了.

如果這樣說就好理解了
100個門,一輛車, 99頭羊.你先選一個門, 然後給你打開98個有羊的門,你說最後那個門後面有車的可能性是不是更大?

三個門是33% vs 50%
一百個門是1% vs 99%

這是偷換概念。1% 的概率是在你不知道100個門後面的情形的情況下的得出的結論，然後每打開一道門，就排除一道門，概率隨之上揚。當打開第98個門時，未知情況的門只剩下2個，所以概率應為50%，而不是99%。假如再打開一道門的話，概率就變為0%或者100%。同理，凡是「n個門，一輛車，(n-1)頭羊。你先選一個門， 然後給你打開(n-2)個有羊的門，你說最後那個門後面有車的可能性是多少」這樣的命題，標準答案就是一個：50%，除非有附加條件或腦筋急轉彎，這就不是我討論的範圍了。

[ 本帖最後由 hero4444 於 2007-1-2 13:46 編輯 ]

這道題還是很簡單的，我在6park上也回答過。都是1/3
如果認定第一次選的，無疑是1/3猜中的機會。如果第二次選，那機會為2/3 * 1/2=1/3。
2/3，是因為正確的結果在剩下的兩個中的幾率為2/3，從兩個中選一個，幾率為1/2
也可以從選錯的幾率方法入手。1-（1/3+2/3 *1/2）=1/3
另外強烈懷疑這道題能真的讓全美大學生舉國辯論。因為太簡單了。難不成美國人都是傻子？

[ 本帖最後由 woss 於 2007-1-4 05:45 編輯 ]

50%....no other way!!!

同意， 其實這式個很簡單得題，純粹是屬於忽悠人的把戲，競然會搞得舉國大辯論，呵呵，只能說明美國得數學基礎教育成問題。