烏賊印表機（圖）

起剝堅果 發表於 2014-08-13 19:53|  What if, 原創

　　原作：http://what-if.xkcd.com/106

　　譯者：豬的米

　　What if 系列：http://songshuhui.net/archives/tag/what-if

　　提問

　　假設我用一個普通的噴墨印表機以12號字體列印數字1會用掉多少墨水分子？如果我想讓列印出來的數字的數值大小和所用掉的墨水分子數相近，那麼這個數字會有多大呢？

　　—— David Pelkey

　　回答

　　回答這個問題我們需要請出費米估演演算法。這樣我們關注的不是準確的數字，而是在開始仔細研究這個問之前就了解這個數大致會有多大，是10位數，還是100位數，還是無窮大？

　　於是我們可以看看在開始查資料前可以用費米估演演算法得出什麼來。

　　一個噴墨印表機的墨盒夠黑白列印許多張A4紙，我們不如樂觀地估計可以列印幾百張。又假設平均每張紙上有500個單詞，每個單詞含有5個字母，這樣一張紙上差不多有2500個字母。100張紙就是25萬個字母，400張就是100萬個，因而每個墨盒夠列印的字母數量應該是個六位數。

　　那麼每個墨盒裡有多少個墨水分子呢？這個問題不查資料的話很難回答，但我還是打算試著猜一下。

　　我記得在化學課上聽到過一個叫阿伏伽德羅常數的東西，但我貌似不記得準確值了。我只記得它等於一個數乘以10的23次方，也就是一個24位數。我還記得它等於多少克什麼物質的原子總數，應該不會很大吧。[1]

　　

　　（— 有隻老鷹把鴿子吃了！

　　— 吃了一整個學期？

　　— 我們學校周圍有許多鴿子嘛~）

　　噴墨印表機的墨盒裡的墨水量一般只有幾十克[2]，我們不妨假設這也是同樣的一個小數字，因為費米估演演算法就是這樣的。

　　墨水的成分是什麼我不知道。（記住，到目前為止我們還不能查資料。）但我知道烏賊能噴出像墨水一樣的東西，所以我想墨水裡應該有一些複雜的有機分子吧。這不是什麼好消息，因為這下我連估計分子重量所在的大致數量級都做不到了。

　　不過別灰心，因為我們需要關心的是其中最小的分子，因為它們佔總數中的大頭。

　　墨水應該像許多烏賊一樣含有很多水分。我打賭當墨水變乾的過程中其中絕大部分的水分子都會跑出來，因為這就是「變干」這個詞的本意嘛。

　　

　　（「我們去把別的東西弄濕吧，這樣人們就不會討論它了，因為大家都不喜歡這個詞！哦耶！太棒了！」）

　　現在故事有點編不下去了，所以我們不妨大膽猜想墨水分子中有10%是那些佔據絕大部分數量的小分子，應該和阿伏伽德羅常數定義中提到的那啥碳XX原子數量大小相當。阿伏伽德羅常數有24位，那麼它的10%就是23位數。如果我們之前做的假設沒有錯得太離譜的話，那麼一個墨盒中的墨水分子應該也有約23位數那麼多。

　　如果一個墨盒中有23位數那麼多的墨水分子，一個墨盒又能列印6位數那麼多的字母，那麼每列印一個字母（或數字）所需的墨水分子數應該是個23-6=17位數。[3]

　　這意味著列印一個十位數需要18位數那麼多的墨水分子，一個100位數需要19位數那麼多的墨水分子。啊哈！找到交點了！要使列印出的數字的大小和所消耗的墨水分子數相當，那麼這個數的位數一定在18位與19位之間。

　　

所以我們根據費米估演演算法得出的答案是一個很靠近19位數的18位數。或許和真實值會相差幾個數量級，但不管怎麼樣這個數可以列印在一行里。

　　

　　（加減半個數量級真是一個奇怪的說法）

　　現在我們該查查資料看看我們的估算到底準不準了。

　　墨水的成分十分複雜，而且種類不同成分相差也很大，這個一點不出乎我們的意料。彩色墨水中有許多大分子，尤其是某些色素分子。不過還好David所問的便宜的黑白墨水的成分就要簡單很多。

　　我打算用我家隨便一台惠普印表機的黑白墨水來研究一下。惠普沒有披露任何關於墨水成分的信息，但它有發布一份墨水的材料安全性數據表。

　　從這份表格中的信息我們可以知道墨水中含水量超過70%，它還含有2-吡絡烷酮（用於合成抗癲癇葯乙琥胺）以及1,5-戊二醇。

　　墨水中還含有最多5%的變性炭黑，這是一種像石墨和鑽石那樣的微晶碳。這對我們是個好消息，因為微晶碳的成分十分單一，它的分子式就是「碳（C）」。[4]

　　正好阿伏伽德羅常數的定義用的也是碳原子，好巧。一般的消費級墨盒裡的墨量大概是幾克，比阿伏伽德羅常數中用到的12克碳要少一些，這意味著我們的估算值大了半個數量級。我們很幸運在估算的過程中用到了碳，不過惠普墨水中的炭黑含量不超過5%，不是我們猜的10%，這樣我們的估算值還要再往下降一些。不過總體來說還是猜得八九不離十。幹得好！

　　對了，這也反襯除了數字世界是多麼的簡潔：

　　

　　（用的是基本標準的恐龍漫畫字體）這也反襯出了墨水是有多昂貴。說道墨水，我想到了八腕烏賊，這種生物的墨囊容量大概是幾毫升。這個數字來源於這篇論文中提到的收集罐的大小，要知道一隻烏賊的質量也就100來克。

　　30刀應該可以買到幾千克的新鮮活烏賊，加入你恰好挑中了其中一條合適的，那麼你就有5到6盒的墨水量啦。

　　

　　（給我灌一些CMYK佳得樂！）

　　我是不是很機智？注1：其實是6.022*10^23，等於12克碳-12中的碳-12原子數，或是1克氫中的氫原子數。注2：如果這個數字很大的話，拿起來就不方便了。但如果不到1克的話，一想到我是花了30刀買了這玩意兒就讓人心痛。注3：我們其實在把相除操作轉化為相減操作。如果你覺得這個小竅門很好玩，打算進一步發展一下以變得更加嚴謹的話，那麼恭喜你，你發明了對數！注4：你可以認為David的問題中指的是墨水顆粒數，也就是說一堆墨水分子只算一個，不過這樣你需要準確地確定干透的墨水裡含有多少水分以及1,5-戊二醇有多少，這可是個苦差事。