空間的維度——從三維到多維是如何構造的

目前為止，世界上沒有一個理論說清楚四維以上的空間幾何架構的原理。數學家和物理學家都沒有搞清楚。
為什麼會有不同維度的理解？
一，由於相對論出現，愛因斯坦四維空間代替了牛頓的三維空間，四維是增加了一維時間，其實愛因斯坦對於空間依然是三維的長寬高。
由於量子理論出現，出現了多維空間，有11維，除了一維時間外，空間是10維。不用說許許多多的一般人不知道多維空間是如何刻畫的，就連物理學家數學家也沒有說清楚，許許多多的人看了youtube丘成桐的視頻，仍然搞不清楚什麼叫多維。因為在我們日常生活中僅僅是三維的長寬高。



二，維度是怎麼得來的？

     1， 當數學家用圓把周圍封閉起來的平面採用360度計量單位表示，再用一條直線穿過圓點就平分了圓，一個圓的一半就是180度，用90度垂直這條直線就可以刻畫整個平面，平面坐標可以說清楚平面上的一切。

    2， 再從圓點發出一條垂直於平面的射線，形成了一個立體的三維坐標，經過圓點的無窮多個平面可以構成一個東西，我們叫做球。
三維空間可以窮盡我們可以觀察到的整個空間。


     3，當我們看到一條直線，我們可以理解這條直線向周圍擴展是三維的，龐加萊猜想就是基於三維空間，1904年，法國數學家亨利·龐加萊在提出了一個拓撲學的猜想:
任何一個單連通的，封閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。

三維空間坐標是由一個點發出的三條射線，否則龐加萊猜想不能成立了。他們有一個重要特徵就是兩兩相連和互相垂直。


       4，人們無法理解四維、五維、....、無窮多維的世界。就連數學家包括丘成桐也沒有說清楚。實際上數學家和物理學家也不清楚多維空間的幾何本質是什麼，他們也還在朦朧中糾結。

      三，下面就讓我來告訴大家什麼是三維以上的空間。
     1，三維空間基於一條重要原則「同一維度不能重疊」。因為圓點周圍窮盡了整個空間，這是三維空間的基礎，你在一個球上面加一個東西，說是球以外的，就沒有意義，因為這個加上去的東西依然納進球內。我們假設的球是一個開放的無窮邊界的球。
【三維空間就是：1，兩兩相連互相垂直的射線。2，不能重疊。】

       2，現在關鍵的問題來了：如果我們構造一個東西與三維坐標的每一射線兩兩相連，並且互相垂直，那麼這個東西必然與某一個維度重疊，於是，我們稱之為第四維。

四，下面我們將用圖兩說明。什麼是四維空間呢？
圖1是一個平面，大家很容易理解，是二維的平面。

圖2是把平面捲起來對接成為一個管子，這個時候就不是平面了，是三維的，因為它有長寬高。最根本的特點就是：在一個三維空間，必然存在一個點，可以向兩兩垂直的方向發出射線。圖3是一個環面，依然是三維的。圖4圖5是兩個環面連在一起，依然是三維，因為沒有重疊。就是說它還只有一個點可以發出兩兩垂直的射線。圖6依然是一個三維的。






圖7是一個環面，我們假設一個點用黑色圓圈表示，圖8是一個三叉管，它也是三維的，現在把圖8三叉管安裝在圖7上，即圖9和圖10，
圖10是射線的連接。出現了重疊，我們用一條紫色的粗線連接表示。這個就叫做四維空間。


多維空間的構造思想是：用增加兩兩垂直的射線增加維度，重疊在三維空間外層，形成了多維空間。使得三維球外面的東西無法納入三維球內，不得不用四維和更多維表示。
構造方法是著名的霍奇猜想的方法。參見科學智慧火花數學欄目：數學最重要的問題與物理學最重要的問題可以結合嗎？
如果是五維空間，就是再加上四叉管，與其他區域兩兩相連，再重疊。
以此類推，可以構造無窮多個維度的空間。可以肯定說，物理學無論向何處發展，都將無法擺脫這個框架。

當今世界科學，最激動人心的科學理論就是弦/M理論，弦/M理論最核心的內容就是多維空間。目前為止，世界上沒有一個理論說清楚四維和四維以上的空間幾何架構的原理,數學家和物理學家都沒有搞清楚。  
    眾所周知，如果要做加法或者減法，首先必須知道什麼是數和數量，如果沒有對數量的定義，就沒有加法或者減法的運算；同樣道理，沒有對空間維度的正確定義，就談不上一個理論建立在維度之上。

四維和四維以上空間不是象三維空間和二維、一維那樣屬於原始概念，而是後繼出現的概念，就必須依據三維和三維以下的空間概念來定義，而空間和時間的坐標必定要寫進物理學方程里，所以必須做出嚴格和科學的定義，不能糊弄過去。而M理論就建立在多維空間的構造上，數學家和物理學家卻不能給出多維構造的幾何原理，弦理論目前就是建立在一個空殼上。

                                                 一， 為什麼會有不同維度的理解？  
     在人所熟悉的三維空間里，有三對主要方向：上下（高度），南北（緯度），東西（經度）。坐標是三條直線共同經過一個點以後，朝三個方向的兩兩相交，也就是說，它們兩兩成直角。從數學方面講，它們在三條不同的坐標軸 x、y、z上。   
   如果要有四維空間坐標，必須另有一條垂直於其他三個主要方向的線條，通常稱作w軸，但是，由於360度窮盡了二維，w軸如果需要存在，必然要重疊在三維之上。
                                                       二，維度是怎麼得來的？
    1，  在算術加法中，個位滿了就進一位到十位位置上。而空間維度增加卻不是這樣。
     2， 當數學家用圓把周圍封閉起來的平面採用360度計量單位表示，再用一條直線穿過圓點就平分了圓，一個圓的一半就是180度，用90度垂直這條直線就可以刻畫整個平面，平面坐標可以說清楚平面上的一切。笛卡爾在【幾何學】中通過選定一條射線作為基線建立了傾斜坐標系，用兩個坐標x，y表示平面上的位置。高斯是第一個正確解釋了二維圖像坐標的數學家。
  3，把坐標系幾何推廣到三維空間是拉.希爾，他在1679年的論文中，用三個坐標表示空間的點，並且給出了三個表示空間的點。

    他從平面圓點發出一條垂直於平面的射線，形成了一個立體的三維坐標，經過圓點的無窮多個平面可以構成一個東西，我們叫做球。
三維空間可以窮盡我們可以觀察到的整個空間。如果有人說我在球外面加一個東西，那是沒有意義的，因為球外面的東西依然可以納進球內，我們的三維空間的球是開放的，沒有邊界的。

     4，當我們看到一條直線，我們可以理解這條直線向周圍擴展是三維的，龐加萊猜想就是基於三維空間，1904年，法國數學家亨利·龐加萊在提出了一個拓撲學的猜想:  任何一個單連通的，封閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。
三維空間坐標是由一個點發出的三條兩兩垂直的射線，他們有一個重要特徵就是：第一，兩兩相連和互相垂直；第二，不能重疊。  
  5，皮耶羅將三維物體透視畫法在二維平面上，但是，到了四維、五維、....高維是無法用透視法畫出來的，高維的圖像必須依賴霍奇猜想的方法——粘貼。一個點狀物體，在空間維度上沒有延伸，因此空間維度為零，能夠在三維空間自由移動；一根玄它有一個空間維度，能夠在比自身有更多維度的空間移動。
       6，人們無法理解四維、五維、....、無窮多維的世界。因為360度平面正好是兩個維度，不可能再插入一個維度，一個球體的中心只能發出三條兩兩相連互相垂直的射線，如果非要再增加一條射線，就會擠壓原來的空間，坐標就不是90度的架構。
在物理學理論中，包含一個可以自洽的程式，這個表示數量關係的程式同經驗事實必須有一個可以接受的聯繫。    就連數學家和物理學家也沒有辦法說清楚。實際上數學家和物理學家也不清楚多維空間的幾何本質是什麼，他們也還在朦朧中糾結。

                                       三，下面就讓我來告訴大家什麼是三維以上的空間。
   上面我們已經說了  三維空間基於兩條重要原則：
第一，三條射線兩兩相連互相垂直。
第二，「同一維度不能重疊」。
因為圓點周圍窮盡了整個空間，這是三維空間的基礎，你在一個球上面加一個東西，說是球以外的，就沒有意義，因為這個加上去的東西依然納進球內。我們假設的球是一個開放的無窮邊界的球。
為什麼必須兩兩相連？在一個坐標上，如果不能與所有的空間維度兩兩相連，只與其中的某些維相連，那麼只是與之相連的那一維度的延伸。而不是新增加的維度。

       2，現在關鍵的問題來了，如果我們構造四維空間，就必須修改前面的兩條規則：
第一，允許一個東西不是從圓心出發，只是與三維坐標的每一射線兩兩相連，互相垂直。
第二，允許這個東西必然與某一個維度重疊，於是，我們稱之為第四維。為什麼要修改呢？
因為我們沒有兩兩相連的連線，就不能添加新的維度，只能算是「新的東西」，如果新的坐標通過圓心，就破壞了原來的三維空間90度的基本面。所以，我們既要把新的坐標線通過與已經有的坐標兩兩相連建構新的坐標元素，允許重疊增加維度。

                                             四，下面我們將用圖兩說明。什麼是四維空間呢？   
   

      一個四方形的平面是二維，是把平面捲起來對接成為一個管子，這個時候就不是平面了，是三維的，因為它有長寬高。最根本的特點就是：在一個三維空間，必然存在一個點，可以向兩兩垂直的方向發出射線。
     把這個管子埠對接成為一個汽車輪胎一樣的環面，依然是三維的。
  一個油餅有兩個洞，依然是三維，一個老式的方向盤有三個洞，還是三維的，... 很多個環面連在一起，依然是三維，因為沒有重疊。就是說它還只有一個點可以發出兩兩垂直的三條射線。
一個有兩個洞的油餅一樣的雙環，是有三條管兩個洞的東西，安上一個三叉（通）管，三叉管騎跨兩個洞，三個埠分別連接雙環三通管 ，就是四維了，因為這個東西在三維空間看無論從哪個方向都是有了重疊。  


                                       五，多維空間是如何構造的
五維空間就是在四維空間基礎上，加一個四叉管騎跨在雙環上，三個埠與雙環的三條管相連，還有一個埠與三叉管相連。
多維空間的構造思想是：用增加兩兩相連的射線增加維度，重疊在三維空間外層，形成了多維空間。使得三維球外面的東西無法納入三維球內，不得不用四維和更多維表示。
構造方法是著名的霍奇猜想的方法。複雜的高維空間由簡單的三維空間粘合在一起。六維空間就是在五維空間基礎上加一個五叉管，每一個埠與其他管相連。
六，擴展

我們可以構造無窮多個兩兩相連區域，如果把無窮多個兩兩互素的素數與無窮多個兩兩相連的區域一一對應，就把數論與圖論與物理學聯繫起來。把這個複雜的岐管內外看成一個整體，岐管內是一個世界x，岐管外是一個世界y，n是維度，整個宇宙就是費馬曲線Xⁿ+Yⁿ=1，也就是費馬大定理。
法爾廷斯的證明雖然是錯誤的，但是，費馬曲線的確是我們的宇宙相關的。管壁就是膜，我們把由量子力學進入弦理論——膜——膜宇宙。就是說宇宙的數學形式是由數學中最經典的問題組成。黎曼幾何為愛因斯坦相對論提供了幾何框架；我們的多維架構為玄理論和M理論提供了架構，並且開闢了一門新的幾何學，它包含了圖論、拓撲學、數論、微積分、複變函數等。

文章發表在中國科學院智慧火花物理學欄目。