趣談數字

數的發明和發現，在人類智力進化史上具有極其重要的意義，是人類告別蒙昧時代最重要的一個里程碑標誌。在今天——當我們進入到數字化時代的時候，數幾乎可以說統治了我們生活中的一切。數和我們的生活、學習、工作息息相關，每天都在不知不覺中和它打交道，可是，我們大家對數又了解多少呢？
           最大的數曾經是「3」
     有這麼一個故事，說是兩個人決定做計數遊戲——誰說出的數字大誰贏。「好」一個人說，「你先說吧！」另一個人絞盡腦汁想了好幾分鐘，最後說出了他所想到的最大數字：「3」。現在輪到第一個人動腦筋了。苦思冥想了一刻鐘以後，他表示棄權說：「你贏了！」
     這是發生在原始部族裡的故事。據不少探險家證實，在某些原始部落里，不存在比3大的數。如果問他們當中的一個人有幾個孩子，或者殺死過多少野獸，那麼，要是這個數大於3，他就會回答說：「許多個。」地球某些地區尚存的原始部族是人類進化史的活化石和遺迹，這些原始部族人對數的認識，說明了在人類歷史上，曾經把3視為最大的數。
           阿基米德發明書寫大數字的辦法
     我們現在都知道，可以用「算術簡示法」來書寫和記錄某些很大的數。
     例如，400000000000000000000（4後面20個零），可以寫成
             4×（10的20次方）(註：因為網站的寫字板不能顯示算術簡示法寫的數字，只好寫成漢字說明)
     但是，在兩千年前，在佚名印度數學家發明——算術簡示法以前，大數字的表示辦法是十分麻煩的。例如，數字8732，古羅馬人寫出來是這樣的：
         MMMMMMMMCCCCCCCXXXII（M表示千，C表示百，X表示十，I表示1）
     不過，古代的計數很難超過幾千，因此，也就沒有發明比一千更高的數位表示符號。如果讓一個古羅馬人寫下「一百萬」這個數，那他一定會不知所措。他所能用的最好辦法就是連續不斷地寫一千個M，大概他要花上幾個鐘點才能寫完。
     所以，在古代人的心目中，那些很大的數目字，如天上星星的顆數、海里游魚的條數、地上沙子的顆數等等，都是「不計其數」，就象「4」這個數字，對於原始部落的人來說，也是「不計其數」，只能說成是「許多」一樣。
     後來，大約公元前三世紀，大名鼎鼎的科學家阿基米德想出了書寫大數字的方法，在《計砂法》這篇著名論文中，他從古希臘算術中最大的數——「萬」開始，然後引進一個新數——「萬萬」（億）作為第二階單位，然後是——「億億」作為第三階單位，「億億億」作為第四階單位，等等下去。
    寫大數字，現在看來似乎不足掛齒，用「算術簡示法」很容易寫出來，但在阿基米德時代，能夠找到寫出大數字的辦法，確實是一項偉大的發現，使數學向前邁出了一大步。
            讓人驚奇的無窮大數
     對無窮大數的認識，無疑是人類認識數字概念的升華。阿基米德和佚名印度數學家發明大數的書寫辦法，無非是想記錄有限的大數。阿基米德甚至利用當時所能知道的天文學知識，計算出了填充宇宙的砂子粒數，不會超過一千萬個第八階單位。用我們現在的數學表示法，這個數字是：
           10的63次方（註：因為網站的寫字板不能顯示算術簡示法寫的數字，只好寫成漢字說明）
    這個數字雖然大卻還是個有限的數。然而，確實存在著一些無窮大的數，它們比我們所能寫出的無論多長的數還要大。例如，「所有整數的個數」和「一條線上所有幾何點的個數」顯然都是無窮大的。
    有了無窮大的數，我們首先想到的是，上面提到的那兩個無窮大的數，哪個「更大」一些？就是說，「所有整數的個數」和「一條線上所有幾何點的個數」這兩個數，哪個大些？乍一看，解決這個問題好象無從著手。因為，這些無窮大數既不能讀出來，也不能寫出來，怎麼進行比較呢？
    著名數學家康托爾想出了一個辦法。
    先舉個淺顯的例子：假如我們兜里有若干個珠子和硬幣，不知道那個多那個少。要搞清兜里珠子多還是硬幣多，我們可以把一粒珠子和一枚硬幣放在一起從兜里拿出來，放在地上；再把另一粒珠子和另一枚硬幣放在一起從兜里拿出來，放在地上；並且一直這樣做下去。最後，如果珠子都拿光了，兜里還剩下硬幣，說明硬幣多於珠子；如果硬幣先拿光了，兜里還剩下珠子，說明珠子多於硬幣；如果兩者同時拿光，說明珠子和硬幣數目相等。
    康托爾提出的比較兩個無窮大數的方法與此相同：我們可以給兩組無窮大數列的各個數一一配對。如果這兩組都一個不剩，這兩組無窮大就是相等的；如果有一組還有些沒有配出去，這一組就比另一組大些。
    這顯然是合理的並且也是唯一可行的比較兩個無窮大數的有效方法。但是，當你把這個方法付諸實用時，你必須準備大吃一驚。
    舉例來說，所有偶數和所有奇數這兩個無窮大數列，你的直覺會感到它們的數目是相等的。應用上述的方法，也完全符合，因為在兩組數間可以建立如下的一一對應關係：
1  3   5   7   9   11   13    15    17    19  ……
││ │ │ │  │ │   │    │   │
2  4   6   8   10  12   14    16    18    20  ……
在這個表中，每一個偶數都與一個奇數相對應，所以說它們的數目是相等的，實在是再簡單再自然不過的事情了。
    但是，下面的問題會使你大惑不解。
    請你想一想：所有整數（即奇偶數都在內）的數目和單單偶數的數目，哪個大呢？你可能會不加思索地說，當然是整數的數目大一些，因為所有整數不但包含了所有的偶數，還要再加上所有的奇數，前者大是顯然的。不過，這只是你的印象而已。只有應用上述康托爾比較兩個無窮大數的法則，才能得出正確的結果。下面就是所有整數和偶數的一一對應表：
1   2   3   4   5   6   7   8  ……
│ │ │ │ │  │ │ │
2   4   6   8   10 12  14  16  ……
     按照上述比較無窮大數的規則，我們得承認，偶數的數目正好和所有整數的數目一樣多，它們是相等的。部分怎麼可以等於全部？這太不可思議了！
     關於這一點，著名德國數學家希爾伯特曾經用通俗的例子進行了解釋，他說：
     我們設想有一家旅店，內設有限個房間，而所有的房間都已經客滿。這時來了位新客，要求訂個房間。「對不起」，旅店主說，「所有房間都已經住滿了。」現在再設想另一家旅店，內設無限個房間，所有房間也都客滿了。這時也有一位新客來臨，想訂一個房間。
    「不成問題！」旅店主說。接著，他讓一號房間的客人搬到二號房間去住，二號房間的客人搬到三號房間去住，三號房間的客人搬到四號房間去住，如此串住下去，這一來，新客就住進了已被騰空的一號房間。
     我們再設想一家有無限個房間的旅店，各個房間也都住滿了。這時，又來了無窮多位要求訂房的客人。
    「好的，先生們，請等一會。」旅店主說。
他把一號房間的旅客移到二號房間，把二號房間的旅客移到四號房間，把三號房間的旅客移到六號房間，如此下去，等等，等等。
     現在所有的單號房間都騰出來了，新來的客人可以住進去了。
     有人可能發生疑問，這是不是意味著所有的無窮大數都是相等的呢？如果是這樣，那還有什麼可比的呢？
     事情完全不是這樣的！例如，一條線段上的點數（無窮多個）就比整數的個數大得多；各種曲線的數目比所有幾何點的數目也大得多。（關於這方面的解釋我另寫文章討論）
     還有讓人奇怪的事情，到目前為止，無窮大數的級別只發現了三個，即
   0(表示所有整數的數目）、1（表示所有幾何點的數目）、2（表示所有曲線的數目）（註：因為網站的寫字板不能顯示專用數學符號，只好用0、1、2代替）
    也就是說，這三個級別無窮大數就足以包括我們所能想到的一切無窮大數了。你要是不信的話，請舉出超出上述三個級別以外的無窮大數來，那你可就揚名天下了。
    我們現在的處境，正好和我們前面講到的原始部落人相反：他有許多個兒子，卻數不過3；而我們什麼都能數清，卻又沒有那麼多東西讓我們來數。
               給數學家帶來麻煩的素數
    我們大家都很熟悉素數（也叫質數），其定義是：不能用兩個或兩個以上較小整數的乘積來表示的數。簡單地說，素數就是除了1和數自身之外，不能被其他自然數整除並且大於1的自然數。如2、3、5、7、13、17，等等（大家相約1不算素數）。
    我們有了無窮大數的概念，就要問了：素數的個數是不是無窮大？這個問題也可以與下面的問題等價：有沒有最大素數（因為如果有，則素數的個數就是有限的，不是無窮大）？這個問題是歐幾里得最先想到的，並用反證法給出了一個簡單而優美的證明：
      假設素數的個數是有限的，令最大的一個用N表示，
      那麼把所有的素數都乘起來，再加上1，其數學式是：
     （1×2×3×5×7×11×13×……×N）＋1
      這個數當然比N要大得多。
      因為，這個數不能被到N為止（包括N在內）的任何一個 素數除盡，即用任何素數來除它，都會剩下1，
      所以，這個數要麼本身也是素數，要麼是能被比N還大的素數整除。而這兩種可能與N是最大的素數這個假設相矛盾，反證法成立。
     由此得出結論，素數的個數是無窮大數。
     我們既然知道素數的數目是無限的，自然就會想到一個問題：是否有什麼簡單的辦法可以把素數一個不漏地寫出來？或者導出一個公式，推算出所有的素數？但是，經過了多少世紀的努力，並沒有找到這樣的公式。
     不僅如此，素數還有許多看起來是極其簡單的問題，而實際上卻成了曠世難題，比較著名的有兩個猜想。
     一個是關於孿生素數的黎曼猜想：孿生素數有無窮多個。
所謂孿生素數，即指相差為2的一對素數，例如（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），等等。目前知道的最大孿生素數是1989年，Amdabl Six 小組在美國加利福尼亞聖克拉大學用Amdabl 1200超級計算機捕捉到的一對孿生素數：
（1706595×2的11235次方—1，1706595×2的11235次方＋1）
     黎曼猜想至今無人能夠證明或反駁這一猜想。
     另一個猜想是哥德巴赫猜想：1742年6月7日，德國人哥德巴赫給瑞士著名數學家歐拉寫信提出如下猜想：「任何大於或等於6的偶數都能表示為兩個素數之和」。歐拉當時回函說，「我不能證明它，但我相信這是一條正確的定理。」
    從一些簡單的例子，你很容易看出這個猜想是對的。
    例如12=7＋5，24=17＋7，32=29＋3，等等（所以要求大於或等於6的偶數，是因為1規定不是素數，而2=1＋1，4=1＋3）。
    但是，要給出嚴謹的證明，就不那麼容易了。數學家們雖然做了大量的工作，卻至今沒有給出確切的證明，也不能找出一個反例來推翻他。
    為了簡化敘述，我們約定：大於或等於6的偶數=α個素數之積＋β個素數之積，記為（α＋β），則哥德巴赫猜想問題就簡稱：證明或反駁（1＋1），這裡α=1，β=1時。
    我國數學家為了證明這個猜想做出了很大的努力，1938年華羅庚證明了幾乎所有的偶數（不是全部偶數）都成立（1＋1）；1955年王元證明了（3＋4）；1957年王元證明了（2＋3）；1962年潘承洞證明了（1＋5）；1962年潘承洞證明了（1＋4）；1966年陳景潤證明了（1＋2），於1973年發表。
    雖然（1＋2）與（1＋1）好象只有一步之遙，但這是要摘數學王冠上的明珠（有人這樣比喻哥德巴赫猜想問題），談何容易！陳景潤證明（1＋2）至今已經三十多年了，一直沒有人在此基礎上前進半步，我國數學家陳景潤仍然是此項世界紀錄的保持者。

數論的科普文章哈！

謝N版

很多諸如此類的問題雖然形式上十分初等，但事實上卻要用到許多艱深的數學知識。

哥德巴赫猜想，是數論里的一個未解問題, 現今的表達方式有：

任何一個大於2的偶數，都可以表示成兩個素數之和。(A) (例: 4 = 2 + 2)
任何一個不小於9的奇數，都可以表示成三個奇素數之和。(B) (例: 9 = 3 + 3 + 3)
任何一個大於5的奇數(偶數亦可)，都可以表示成三個素數之和。(C) (例: 7 = 2 + 2 + 3 ；6 = 2 + 2 + 2)