論秦九韶的數學創新思維模式

[日期：2007-03-12] 來源：  作者： 劉邦凡

秦九韶著《數書九章》不僅實現了中國古代數學的新高潮，而且在數學思維和數學推理上特別注重在繼承中創新，形成中國古代數學思維模式的新亮點：明確提出創新思維，創設數學推理新模式「問——答——術——草——（圖）」，強調「內算」與「外算」的統一，開創數學建模的綜合方法，提出「數以實為體」的思想，系統提出與使用機械化數學證明方法。

自《九章算術》以來，中算典籍與數家大多未能擺脫《九章算術》體系、內容、方法的束縛，而秦九韶在《數書九章》[1]中卻有十分突出的表現，在繼承的基礎之上，十分注重邏輯思維的創新. 這一點，從以下幾方面足可證之.

1．繼承中創新是秦九韶從事數學研究的出發點

秦九韶在《數書九章序》中就說：「漢去古未遠，有張蒼、許商、乘馬延年、耿壽昌、鄭玄、張衡、劉洪之倫，或明天道，而法傳於后；或計功策，而效驗於時. 後世學者自高，鄙之不講，此學殆絕. 惟治歷疇人，能為乘除，而弗通於開方衍變. 若官府會事，則府史一二系之. 算家位置，素所不識，上之人亦委而聽焉. 持算者惟若人，則鄙之也宜矣. 嗚呼！樂有制氏，僅記鏗鏘，而謂與天地同和者止於是，可乎？」由此看來，秦九韶認為數學不同於那種製造樂器式的機械性工作，而是譜寫樂曲的創造性工作.

2．《數書九章》形式上以繼承《九章算術》為主，內容上以創新為重

如從《數書九章》的章目與內容可比較如表1：

表1  《九章算術》與《數書九章》的比較

《九章算術》
《數書九章》

題目
內容
題目
內容

第一方田
田地面積計算問題
第一大衍
一次同餘式組問題

第二粟米
穀米等比例計算問題
第二天時
天文、曆法、氣象等問題

第三衰分
按一定比率分配問題
第三田域
田地面積計算問題

第四少廣
由面積、體積求邊長問題
第四測望
勾股、重差、測量問題

第五商功
推算各種工程問題
第五賦役
田賦、稅收問題

第六均輸
賦稅、徭役攤派問題
第六錢穀
糧谷轉運和倉庫問題

第七盈不足
應用假設、推理解問題
第七營建
建築施工問題

第八方程
解一次方程組問題
第八軍旅
兵營布置及供應問題

第九勾股
解直角三角形問題
第九市易
商品交易和利息問題


從形式上看，《數書九章》與《九章算術》均是九章，正文內容部分採用問題集形式，編寫體例卻不盡相同. 《九章算術》是「問→答→術」，而《數書九章》是「問→答→術→草→圖」，況後者「術」有別於前者的「術」，後者之「術」事實上專指一般解法即一種數學論證模式：《數書九章》的術文大多沿用「以……」「置……」「先以……，次以……」等敘述模式.

從內容上，《數書九章》儘管包括《九章算術》所涉及部分內容，但大多數是創新，「大衍類」「天時類」是完全創新的內容，其他章節的內容也有不同程度的創新，白尚恕、李兆華二先生就認為：「《數書九章》的題具有這樣一個特點，一方面是繼承了《九章算術》題的規範性，一方面是向縱、橫方向發展了這種規範性」，「秦氏（秦九韶）所用術名，其內涵較為廣泛，不但繼承了《九章算術》及劉徽之說，也使之有所發展」，「《數書九章》的解題方法特點之一是單獨地或聯合地運用《九章算術》的名術」，「還對《九章算術》中的某些解題方法予以發展. 雖然一般還沿用《九章算術》中的名稱，但其內容與水平都超出原有的名術」[2]，如「今有術」、「開方術」、「盈不足術」、「方程術」等.

3. 明確提出創新思維

秦九韶在《數書九章序》中就說：「後世興事造始，鮮能考度，浸浸乎天紀人事殽缺矣. 可不求其故哉？九韶愚陋，不閑於藝. 然早歲侍親中都，因得訪習於太史，又嘗從隱君子受數學. 」這分明是說，秦九韶既主張「訪習於太史」，從當時最具權威的天文歷算那裡深入學習歷算，或者「又嘗從隱君子受數學」，從隱居者那裡領會「外算」與「內算」之一統，又主張廣泛研習古典三十餘家，對那些自傲之人批評道：「後世興事造始，鮮能考度，浸浸乎天紀人事殽缺矣. 可不求其故哉？」當然，秦九韶更注重從社會實踐中獲得創新的啟迪，《數書九章》所涉內容包括當時社會實踐的方方面面：農業氣象、田畝量度、工程測量、水利水文、賦稅分配、建築營造、貨幣金融、軍事布陣、商業貿易等等，這充分說明秦九韶對社會生活的方方面面都倍加關注，事實也正是這樣，秦九韶不僅是「他的民族、他所處的時代，以至一切時期的最偉大數學家之一」，而且「他多才多藝，性極機巧，星象、音律、算術以至營造等事無不精究，還學習過駢儷詩詞，遊戲、球、馬、弓、劍，莫不能知. 流傳至今的《數書九章》（原名《數術大略》），不僅是一部高水平數學專著，而且是南宋時期社會許多方面的縮影. 」[3]

4. 創設數學推理新模式：問——答——術——草——（圖）

秦九韶在《數書九章》中沒有照搬《九章算術》思維論證模式，而是在繼承的基礎上，形成了獨具匠心的「問答術草圖」五位一體的數學思維論證模式.

秦九韶在《數書九章序》中就明確指出：「信知夫物莫不有數也. 乃肆意其間，旁諏方能，探索杳渺，粗若有得焉. 所謂通神明，順性命，固膚末於見；若其小者，竊嘗設為問答，以擬於用. 積多而惜其棄，因取八十一題，厘為九類，立術具草，間以圖發之. 」

《數書九章》所有81個問題大都按「問→答→術→草→圖」的體例編排. 「問」就是問題，「答」就是「答案」，「術」就是基本解法，「草」就是詳細的運算論證過程或程序，「圖」就是作出圖示. 而這一編排體例反映了秦九韶數學論證思維的模式的基本結構：「設以問答」、「以擬於用」、「立術具草」、「以圖發之」，用現代漢語詮釋就是：從問題出發→給出答案（以備應用）→論述解法，建構模式，舉一反三→寫出程序→作出圖示（一目了然，便于思維）. 即秦九韶提出了如圖1所示的學術論證的思維模式：（略）圖1  秦九韶提出的學術論證思維模式

5.強調「內算」與「外算」的統一

何謂「內算」、何謂「外算」？秦九韶《數書九章序》中就有明確的界定：

「今數術之書，尚三十餘家. 天象歷度、謂之綴術；太乙、壬、甲，謂之三式，皆曰內算，言其秘也. 九章所載，即周官九數，繫於方圓者為叀術，皆曰外算，對內而言也. 其用相通，不可歧二. 獨大衍法不載九章，未能推之者. 歷家演法頗用之，以為方程者，誤也. 」因此，所謂內算就是「綴術」和「三式」. 「綴術」就是天象曆法的計算方法，「三式」就是應用於占卜術的計算太乙、六壬、遁甲. 所謂外算就是九數（九章）以及有關測量方位、地形之高、深、遠、近、寬的方法. 同時，秦九韶指出，「內算」與「外算」應用上彼此相通，不存在根本的分歧.

由此看來，以《九章算術》等為代表的外演算法簡單、寓理於算，不證自明，演算法公開而易掌握. 而以綴術為代表的內算之書，演算法複雜、程序性強，儘管寓理於算但不經專門學習難以掌握. 查有梁先生說，「綴術」即「逼近之術」，包括：分數逼近、幾何逼近、代數—幾何逼近、函數逼近、綴術求大等[4]. 但我認為「綴術」還可以理解為推壘之術或推理之術. 所謂「綴」也，也就是說，不吝其繁，一次又一次，再一次又再一次，循環相推，以至無窮. 「綴術」，也就是關於如此思維模式的學問. 由此，「內算」一方面確有指具體的數學對象和數學內容，但更指數學論證的思維模式，這樣的思維模式比較於「外算」，且得更具完備性、更具邏輯嚴密性、更具機械性.

6. 開創數學建模的綜合方法

數學建模是一種邏輯性很強的綜合方法，它「為解決特定的問題，在一定的抽象、簡化、假設條件下，再現原型客體的某些本質特性；它是作為思維中介與論證程序，從而更好地認識和改造原型客體、構建新型客體的一種科學方法. 從實踐出發概括、歸納、綜合，可以提出各種模式，模式一經被證實，既有可能形成理論；也可以從理論出發，經類比、演繹、分析，提出各種模式，從而促進實踐發展. 模式是客觀實物的相擬模擬（實物模式），是真實世界的數量抽象描寫（數學模式），是思想觀念的形象顯示（圖像模式和語義模式）」[5].

秦九韶是如何認識「數學建模」這一綜合數學方法呢？

他在《數書九章序》中就指出：「獨大衍法不載九章，未有能推之者，歷家演法頗用之，以為方程者誤也. 且天下之事多矣，古之人先事而計，計定而行. 仰觀俯察，人謀鬼謀，無所不用其謹. 是以不愆於成，載籍章章，可覆也」.

在這裡，秦九韶強調像「大衍求一術」的模式化演算法對於數學論證數學推演以及數學思想與數學方法的傳承都至關重要. 為驗證和實現他的認識，他在《數書九章》第一章就專題論述「大衍求一術」，第一章的9個問題以及第二章「治歷演紀」問題都用「大衍求一術」來解決. 儘管秦九韶並沒有明確提出「模式」或「建模」之類的概念，但從其論述與實踐中可斷定，秦九韶認識並善於應用「數學建模」之類（如「大衍求一術」）綜合方法去解決數學問題.

《數書九章》對《周易》特別關注，不但大量摘引《周易》原文，而且以數學為工具深刻研究了《周易》所載的「蓍草佔小」的過程，反過來又抽象為「數學模式」. 如果說《九章算術劉徽注》深受墨家影響的話，那麼《數書九章》及作者秦九韶卻深受《周易》之影響. 儘管不能說「大衍求一術」得源於《周易》但可以說《周易》曾經是秦九韶完善「大衍求一術」的一個重要材料，秦九韶在《數書九章序》中就已明確：「崑崙旁礴，道本虛一. 聖有大衍，徴寓於易. 奇余取策，群數皆揖. 衍而究之，探隱知原. 數術之傳，以實為體. 其書九章，惟茲弗紀. 歷家雖用，用而不知. 小試經世，姑推所為. 述大衍第一. 」

7. 提出「數以實為體」的思想

《數書九章序》說：「數與道非二本」、「數術之傳，以實為體」. 意思是說，數學與哲學本質一致、有相同的本體. 數學思想的傳承以實際應用為紐帶、為根本、為載體. 《數書九章》看，秦九韶對《周易》等中國古代哲學典籍有相當的研究，對數學與哲學關係的把握是創新的，正是入席，他才可能大膽使用中國哲學「類以合類」、「通類」、「推類」等思想與方法，以實際問題為基礎，從中選擇81個問題，歸為九大類，而給予不同的解決.

8. 系統提出與使用機械化數學證明方法

吳文俊先生說「所謂東方數學的中國古代數學，具有兩大特色，一是它的構造性，二是它的機械化」[2]. 誠然這樣的構造性與機械化，從我國很早的數學證明中就已經開始，但系統介紹與使用數學構造性實現數學證明的機械化，還是從秦九韶開始的. 吳文俊先生在「從《數書九章》看中國傳統數學構造性與機械化的特色」[6]一文中，從「質數與等數」、「增乘開方法與正負開方術」、「大衍總數術」三個方面論述了秦九韶如何提出與使用構造性與機械化的. 李繼閔先生甚至認為：「秦九韶的大衍術在中國古代演算法中是很典型的，其中包含著演算法程序設計的許多基本方法與技巧，它們和現代電子計算機計算的程序設計在原理是相通的. 如果我們仿照現代程序設計的記號與圖示將秦氏大衍術演算法譯成『程序框圖』，就會發現它與現代演算法設計有令人驚奇的相似之處. 『治歷演紀術』是包含兩個『邏輯判斷框』的分支程序，其判斷條件（『W≈0？』和『K＜K※？』＝在原術中記述得十分明確. 『大衍總數術』，是一個『多重循環程序』，不過這裡循環性表現為元的對稱性. 秦九韶大衍術演算法的設計，不僅邏輯結構合理，而且計算省便，從今天的眼光來看也是無所指責的」[7].

中國古代何以發展起這樣的構造性機械化證明方法？這是一個值得思考的問題. 吳文俊先生說：「歐幾里得創造了一套定義、公理、定理構成的邏輯推理演繹體系，自有其獨到之處，但並不是必須按照這一格式才算是邏輯推理」[6]. 顯然，中國傳統數學中存在有別於歐幾里得的獨到邏輯推理，那就是「以類推類」. 不論秦九韶的「治歷演紀術」，還是「大衍求一術」、「大衍總數術」，其方法的基礎與出發點都有一個對概念、問題、數據進行分類、歸類的環節，如「元數」、「收數」、「通數」、「複數」、「定數」、「衍母」、「衍數」、「奇數」、「用數」、「等數」、「蔀數」等概念的定義、歸類，並且每一個機械化證明的環節也就是從一類數據推導另一類數據的過程. 因此，筆者認為，秦九韶的構造性與機械化證明，其邏輯基礎與方法仍然採用的是中國邏輯「以類推類」的思想.

總之，秦九韶全面繼承並創新了中國傳統數學的自身邏輯思路，「大衍總數術」就是一個典型. 「大衍總數術」先採用許多概念：問數、元數、收數、通數和複數「四格」，運用轉化思維，將問題數據標準化. 接著，引進專門術語，定數、衍母、衍數……按剩餘定理確定演算程序. 「大衍總數術」實際上是一個「多重循環程序」，其演算法設計，不僅邏輯合理，而且計算省便. 傅海倫先生甚至把大衍術求定數演算法轉化成現代計算機程序，得出的結論與我們的觀點相一致：「秦九韶大衍總數術程序框圖是由多重循環語句和分支結構組成的，包含著演算法程序設計的許多基本方法和技巧，其中求定數的程序與現代計算機的程序設計在原理上是相通的」[8].

另外，很值得提及的是，根據秦九韶的機械化證明方法與幾何問題代數化證明方法的思想，吳文俊院士從20世紀70-80年代起發明了數學定理的計算機機器證明方法，開創了當今數學的嶄新領域，實現了中國傳統數學的現實飛躍. 這不能不說秦九韶數學方法的永恆生命性.



參考文獻：

[1]秦九韶.數書九章[A]，中國歷代算學集成[C].靖玉樹.濟南:山東人民出版社,1994:467.

[2]吳文俊.秦九韶與《數書九章》[M].北京:北京師範大學出版社,1987.110-114.

[3]李迪.傑出數學家秦九韶.序一[A].傑出數學家秦九韶[M].北京:科學出版社,2003:1.

[4]查有梁等.傑出數學家秦九韶[M].北京:科學出版社,2003:52-53.

[5]查有梁.教育建模.桂林:廣西教育出版社,2001:5.

[6]吳文俊.從《數書九章》看中國傳統數學構造性與機械化的特色[A].秦九韶與數書九章[M].北京:北京師範大學出版社,1987:74-88.

[7]李繼閔.從「演紀之法」與「大衍總數術」看秦九韶在演算法上的成就[A].秦九韶與數書九章[M].北京:北京師範大學出版社,1987:213-215.

[8]傅海倫.大衍術中求定數演算法的現代計算機程序設計[J].山東師大學報(自然科學版).2000,(1):10-15.

（已經在《浙江萬里學院學報》第18卷 第2期，2005發表）

[ 本帖最後由 小辣辣 於 2007-10-5 03:30 編輯 ]