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[網摘] 張江:「流」的探索

作者:sujie_alex  於 2010-4-15 08:02 發表於 最熱鬧的華人社交網路--貝殼村

作者分類:學而|通用分類:網路文摘|已有1評論

「流」的探索

張江

2007.8

    流動是複雜系統中的普遍現象之一,從看得見的流動,例如:水流、人流;到看不見的流動,如:電流、能量流、熱流;再到更加抽象的:貨幣流、信息流等等,似乎如果一個系統是複雜的,它的內部就一定存在著各種流動。那麼是否存在著某個普遍的規律制約著這些流動呢?答案應該是肯定的,雖然這種規律仍然「猶抱琵琶半遮面」,但是近年來有關生態學、非平衡態統計物理的研究已經逐漸逼近它,各種跡象表明,一種統一的可以描述複雜系統中「流動」現象的通用規律即將「橫空出世」。我們為什麼會衰老和死亡?大象為什麼比蟑螂吃得多而繁殖得少?少數大公司為什麼能壟斷市場?城市的交通網路為什麼與動物體內的血管那麼相似?也許這些問題最終都能在這套新理論中找到答案。本文的目的就是想引領讀者趕上複雜性研究前沿的步伐,親身體驗這些激動人心的科學發現。

    本篇文章分為三章:   一、流動與冪律  二、分形輸運網路  三、通向理論

一、流動與冪律

1、流量與存量

     假設你是一個公司的老闆,正在運營一家擁有M億元固定資產的企業,那麼,你要保證每個月凈盈利多少億F才能使你的企業能夠維持下去?很顯然,這個問題取決於你這個公司每個月燒多少錢。由於每個月你都需要給你的員工開工資、需要交房租、需要購買新的電腦,那麼這些花費的總和一定是一個與M有關的量。一般來說,M越大,公司每個月的花費F也越大,你需要為更多的人開工資、需要維護更昂貴的計算機設備,因此每個月公司需要賺取的凈盈利也就越大。那麼F和M究竟存不存在著某種數量關係呢?
    不要著急回答這個問題,讓我們先來看看大自然。大自然有各種各樣的物種,每個物種都有著不同的重量(body mass)。同時每個物種都需要新陳代謝,它們需要不停的從外界環境獲取能量資源以維持自身的生命。如果設一個物種的平均重量是M,它的新陳代謝量是F,那麼一般來說M越大F也越大。大象要維持生存一天總要比老鼠吃的多得多。
    對比這兩個問題,我們會發現它們有著下面的類比關係:

公司<->物種
固定資產<->平均重量
每月的凈盈利<->新陳代謝
貨幣<->能量

    廣義上說,這樣的問題屬於一種流量和存量的問題。由於公司的月盈利以及生物的新陳代謝都是一種流量,而固定資產和生物的重量都是一種存量。公司或者生物需要進行廣義的新陳代謝從外界獲取資源而轉化成內部的存量。我們可以形象地用下圖表示這個關係:

    物種和公司就好比是這個大水缸,只不過一個存的是錢,另一個存的是能量。由於這個存量M會由於熱力學第二定律(無序度持續增加)而不斷地衰退,也就是說這個水缸是漏的,每時刻都有一個流出Fo,例如公司要計算各種固定資產的折舊費、生物則會因為新陳代謝而不斷消耗著能量,因此,它需要不斷補給流入Fi以維持M。當Fi=Fo的時候,系統的流入和流出平衡了,M就是不變的了。我們稱這種狀態為穩衡態(steady state),即一種動態之中的平衡。
    不難想象,這裡討論的類似流、存儲等概念並沒有限定為具體的能量流或者貨幣流,因此,這是一種廣義的流的問題,它普遍存在於各種複雜系統之中。你不妨自己尋找一下這個隱喻在城市系統、計算機系統、互聯網、經濟系統等系統中的應用。

2、神奇的數字3/4

     下面,我們來具體探討存量M究竟和流量F是一種什麼關係。最早發現M與F之間存在著明確關係的是在生物界。1932年,一個叫Max Kleiber的生物學家對各種鳥類、哺乳類動物的尺寸M與新陳代謝F之間的關係進行了測量,並將它們的對數值畫到一張圖中,發現所有的數據點都排列到了一條直線上,如圖:

    這說明,F與M之間的確存在著一種冪律關係也就是其中F0和b都是常數。經測量發現,這個直線的斜率b接近於3/4這個數。這個關係後來又被Brody證實,小到老鼠,大到大象,新陳代謝和生物體重量之間的關係都符合確定的關係式:

     其中,F0是一個與M無關的常數。隨後,Hemmingsen又將這個結論擴展到了更多的物種,小到單細胞生物大到白鯨,它們的新陳代謝和生物量的關係都服從冪律分佈:

     (這個符號的意思是指F和M3/4成比例。雖然對於不同的物種集合來說F0有可能不同,但是指數3/4卻都是一樣的)。因為對於生物來說,它的體積(Body Size)是與重量呈正比的,所以,這個關係也表達了新陳代謝和體積V的關係:

     仔細分析這個公式發現,它符合我們的直覺,即越大的生物體需要更大量的能量來維持自己的新陳代謝。一頭大象顯然要比一隻老鼠吃得多。其次,這個公式也有反直覺的一方面。一般我們人普遍認為F與M是呈一種正比的關係即F~M。這樣,當生物體體積增長10000倍的時候,它的新陳代謝也同樣增長10000倍。然而,根據,事實卻是當生物體增長10000倍,它的新陳代謝卻僅僅增長1000倍,要小於線性增長的關係。因此,生物體為了維持每單位體積所需要的新陳代謝的能量是,反而會隨著體積的增大而減小。因此,大象比老鼠能夠更有效率利用吸收來的能量,即越大越好,所以3/4律蘊含了一種「規模效益」。

3、異速生長尺度規律(Allometric scaling)

     當我們有了3/4律,還可以得到更多有意思的推論。因為我們可以把生物體理解為一個盛水的水缸,新陳代謝作為一種流動不斷更新這個水缸裡面的水。那麼,我們考慮一單位新陳代謝吸收的能量會在水缸中平均逗留多長時間而被排出?經過很簡單的計算可以得出,這個時間大概是:

     即與重量呈1/4的冪律關係。經過試驗驗證人們發現,生物體的各種時間量,例如壽命、發育時間、懷孕時間都與它的重量的1/4呈正比。因為時間的倒數就是頻率,因此,不難推論生物的各種頻率(即快慢程度),如:心跳頻率、出生率、死亡率(出生率與死亡率是針對整個種群而言的)都與M呈-1/4的冪律關係,即:

     這裡面的Q是生物的任何一種「頻率」。這也就是說個頭越大的生物,它的一切活動就會顯得越慢,個頭越小的則一切活動都越快。這很符合我們的經驗觀察:小老鼠喜歡不停的跳來跳去的,而大象則移動身軀都很費勁。(參考James Brown的文獻

    生物體的壽命與重量呈1/4的冪律關係有些出人意料,這意味著實際上任何生物在誕生之日起已經被該物種的平均重量決定了其壽命。然而,該理論並沒有指出生物為什麼會衰老、為什麼會死亡?也許對這一問題的解答現在還不是時候,不過從流動的角度來看,可以肯定的是衰老和死亡一定是跟生物體的新陳代謝有關係的。為了進一步闡明衰老、死亡和流動、新陳代謝的關係,作者作了這樣一個有關流水的比喻

    上面的水缸比喻實際是一個生物體能量利用的簡化版本,生物體吸收能量之後不僅僅能維持生存,而且還能進行運動、捕食、生育後代、學習文化知識,這些活動都需要消耗能量,因而,水缸之中的水流動就會得到一幅更複雜的生物體內能量流圖,詳細請看這裡

    所有這些生物體的冪律關係有個統一的名稱叫做:異速生長尺度律(Allometric scaling)。這裡的Scaling就是指的各種生物量與生物體的體積大小有關,它們會隨著生物體尺度的變化而變化。而異速生長則是指這種關係不是與尺度呈正比,即增長多少體積就會增長多少新陳代謝,而是呈現各種冪律關係,也就是說它們的增長速度是不同的。

4、無處不在的流動與冪律

     本文開篇就指出,流動是一種普遍存在的現象,那麼3/4冪律分佈關係是否也能推廣到各種複雜系統之中呢?答案是半對半錯。3/4這個特定的數字可能不再成立,然而冪律關係是普遍存在的,下面我們來看幾個具體的例子。
    我們可以把城市比喻成一個生命系統,它也需要不斷的從外界吸收各種物質、能量資源,也會像現實生物一樣成長、發育、衰老。從這個角度看,給城市供給的各種能量、物質資源就相當於是輸入到城市中的流或城市的新陳代謝,而消費這些能量、物質的人就可以看作是這個城市的存量,或者尺寸。城市越大,它能供養的人越多,因而需要的能量和物質也就越多。
    德國的Christian Kuhnert等人就將德國各個城市的人口數(相當於M)和供給該城市的總電能(即F)進行了統計,並把這兩個量的對數值畫在一張圖上得到了近似直線的分佈曲線:

     發現這條直線的斜率近似1.1,即。另外,他還統計了歐洲各個國家不同城市的人口數量與加油站數量、郵局的數量、飯館的數量等量(這些量都可以看作是廣義的流量F)之間的關係,發現類似的冪律分佈曲線也可以得到,並且冪律指數一般都接近於1。這個例子說明,流量與存量這對關係在一切複雜系統中都有著相似的數量關係。(參考Kuhnert的文獻

    為什麼越窮的國家或地區越願意生孩子?而越富有的國家則生育率極低?生物學家Melaine Moses 對美國在不同時期的平均每人消耗的資源和這一年的生育數量的對數值畫到曲線上,得到了下圖:

     其中對於整個國家來說人均資源消耗就相當於是新陳代謝率F。在前面討論的各種冪律關係中,有一個關係是出生率與生物體尺度的關係:,同時我們知道 ,這樣不難得到: ,這也就是上圖統計出來的對數圖中的直線表示的。看來,在強大的新陳代謝流動的自然規律面前,我們人類並沒有多大的選擇權利。(參考Moses的文獻

    讓我們回到一開始的公司規模問題。是否公司的資產規模也和公司的盈利存在著類似的這種冪律分佈關係,甚至是不是這個分佈的指數就是3/4呢?就筆者目前掌握的資料來看,沒有人做過這個統計。但是,關於公司尺寸的分佈存在著一個相關的冪律分佈,這就是公司的規模與這種規模的公司數量之間存在著冪律分佈關係: ,其中b是一個正數。也就是說公司規模越大,相應的數量越小。這個關係已經被很多社會學家證明了,並且在社會學中,這個規律有個特定的名字叫做Zipf律。它也許可以間接證明存量與流量的冪律關係。(參考Axtell的文獻

    如果將經濟系統中的公司與生態系統中的生物體之間的類比是正確的,那麼,我們有理由相信由能量流驅動構造的生物與由貨幣流驅動構造的公司遵循著同樣的規律。這樣不僅僅流量和存量之間服從著冪律分佈關係,而且其他的有關時間尺度、頻率與存量之間的冪律關係也可能試用。像生物一樣,小公司好比是老鼠,相對靈活多變,但是平均壽命也短;而大公司就好比是大象,體積龐大、反應緩慢,但實力雄厚,存在的壽命也長。
    讓我們放眼大千世界,這樣的流量與存量、時間與規模之間的矛盾和關係幾乎到處存在,所以最初來源於生物學的3/4律的發現也許蘊藏著一切複雜系統共有的規律。

二、分形輸運網路

    相信你和我一樣已經厭倦了無休止的數據羅列和鋪天蓋地的冪律關係。究竟為什麼大自然中會存在這樣的冪律關係?為什麼生物體新陳代謝和它的尺寸之間的冪律關係是3/4?本章就試圖給出各種解釋。

1、失敗的幾何解釋

     第一個開始探討生物體的新陳代謝與體積之間關係的研究是早在1883年做出的,一個叫Rubner的生物學家首先對生物體的新陳代謝和生物體積(Body Size)之間的關係進行了簡單的數學估算。
假設生物體是一個三維的球,生活在一個池塘里,如圖:

    根據簡單的幾何運算,不難求出:新陳代謝是與體積的2/3次冪呈正比的。我們知道它顯然是錯了,因為實際的數據不符,看來大自然設計的生物體並不是那麼簡單的幾何形狀,它有著更複雜的內部結構。

2、生命體中的河流

    1990年的一天,新墨西哥大學的生態學家James Brown抱著一大堆數據走進了同在美國新墨西哥州的洛斯.阿拉莫斯國家實驗室,該實驗室以高能物理研究著稱。而James要見的人正是一名粒子物理學家。作為生態學家的James此時的心情是複雜的,他已經收集了大量有關生物體的3/4冪律關係的數據,但是卻不能給出一個滿意、合理的解釋。作為生態學家,他更擅長跟野外的生物打交道而不是擺弄數學公式。然而,大自然用神奇的數字3/4正在召喚著新的科學,面對著這股大自然的魔力,James終於走出了實驗室開始跟擺弄數學公式的人打交道。然而,合作是困難的,大部分物理學家、數學家總是只對自己的問題感興趣,對生態學家的數據嗤之以鼻,生物學有像相對論那樣漂亮的理論嗎?沒有,所以,生物學是二等的理論。James已經經歷了多次失敗。這次能不能成功呢,James心想,誰知道呢,碰碰運氣吧,也許這次要見的Geoffrey West是個與眾不同的人!
    終於,James走進了Geoffrey的辦公室,只見一個瘦瘦高高,一臉銀色鬍子的斯文學者熱情的沖他打招呼。這就是Geoffrey West,一名當時還不算很有名氣的粒子物理學家。經過短暫的交流之後,James開始打消了開始的疑心,因為他發現Geoffrey不僅為人和善,而且對生物學理論充滿了異乎尋常的興趣。Geoffrey說,他一直在思考著一個問題,人為什麼會衰老和死亡?我們都知道,任何一種生物,即使它的生活多麼健康、安逸,它仍不免一死。然而,這樣一種明顯的事實是否可以有科學的解釋呢?所以,Geoffrey正準備跳出粒子物理學,而轉道研究如何解釋生物的壽命長短以及衰老和死亡的原因。聽到這裡,James高興的一把握住Geoffrey的手,太好了,也許你的問題能在我收集的這些數據中找到答案,就這樣,二人一拍即合。

James H Brown


Geoffrey West

     (註:這段故事的細節是作者根據適當的想象編寫的,具體的年代也不詳。事實是,Brown的確找過很多人合作,但都失敗了,於是找到了West。而West也的確曾經反覆思考過生物體衰老和死亡的問題,見http://www.physicscentral.com/people/2003/west.html
    就這樣,West開始思考生物體普遍存在的3/4背後的機理和形成原因。首先,West意識到,新陳代謝和生物體重量(或體積)的關係是一種流量與存量之間的關係。而所有生物體內部都存在著流動,例如哺乳動物的血液系統、植物的根、莖、葉輸運系統。
    其次,從大量的生物學數據中,他發現,生物體內部的這些流動系統普遍都是一種不斷分叉的網路結構。如圖:

人體網路

哺乳動物纖維細胞中的線粒體(綠色)和微管(紅色)網路

    這些網路都具有類似於河流那樣的分叉網路。考慮一股水流順著山勢而下,水流衝擊著土地形成了河流。這股水流又會不停的形成各種分支,創造出更多的小河流。也許這種類比本身就抓住了事物的本質。生物體新陳代謝從外部吸收進能量流就好比一股從山上衝下來的水流,能量流可以創造出更多的分支結構,它們形成了生物體內的能量、物質的疏運體系。
    最後,類似於河流網路,生物體內部的疏運網路具有一種分形結構。所謂分形就是指一種自相似的幾何體。具體到河流中,如果你將任何一個局部支流放大到整個河流的尺度,你會發現它們是相似的。這樣,河流每分叉一次,這個分叉就像一開始的主流一樣再次作用到土地上,形成更多的分叉……,就好像無窮遞歸的計算機程序一樣,這個分叉過程會越分越細。如果你要想計算整個河流網中的水流總量,那麼你只需要把各個分支的流量加起來,而因為分支是自相似的,每個分支的流量都是總流量的一個分數,那麼整個流量就是計算一個等比數列的和。那麼這個總和跟一開始的河流主流流量有什麼關係呢?冪律關係!想到這裡,Geoffrey興奮地開始在紙上擺弄起了數學方程。
    為了推理的嚴格性,West首先做了下面三個假設:
    (1) 生物體是由大量的類似於河流那樣的輸運網路填充整個生物體空間構成的;(也就是說,生物體內的河流要把整個生物體填滿);
    (2) 整個輸運網路的最後一級分叉是一些跟生物體體積無關的單元結構,例如動物體內的毛細管或者是植物的柄部大小是與生物體的個頭大小無關的;
    (3) 生物體已經由於長年的進化使得內部疏運網路的結構能夠使得營養物質的流動阻力達到最小,從而流動最順暢。

    有了這三個假設,通過一系列數學推理運算,West就能得到體積和新陳代謝的3/4冪律關係,詳細的推導請看這裡。(參考G.West的文獻

    雖然這個模型推導現在看來過於繁瑣,但是,它的想法卻抓住了本質的因素,這就是之所以生物體符合3/4冪律分佈,是因為它們並不是簡單的幾何構型,而是一種具有分形結構的網路。分形幾何結構通俗來講就是一種自相似的結構。從雲朵到山脈再到金融市場,人們已經發現這種自相似的結構普遍存在。因而從這一點來講,West的解釋模型具有普遍的意義:為什麼大自然各種複雜系統中廣泛存在著流量與存量之間的冪律關係?這是因為流動形成的分形網路填充了系統所存在的空間。
    West也對自己最初的過於繁瑣的解釋模型並不滿意,於是在1999年,他又在Science上發表文章,對3/4冪律關係進行了簡化得多的解釋。他的基本想法和一開始Rubner做出的2/3冪律關係的解釋很相似。(
參考G.West在《Science》上的文章

    首先,West假設生物體的新陳代謝率是與它的表面積成正比的。然而,生物體不是一個簡單的實體的三維物體,而是一個具有複雜的分形結構的幾何形體。如果設生物體的特徵尺度為l,可以把它設想成生物體的高度或者寬度,那麼如果它是普通的二維幾何形體,那麼它的表面積A就與特徵尺度l呈平方關係,即: 。現在,生物體是一種分形的幾何體,這樣,按照分形幾何,它的表面積與尺度之間的關係就有可能是分數維的: 。其中 是個介於0~1之間的分數。同樣的推理也適用於體積,因此體積與長度之間的關係也服從一種比三維多一點的冪律關係,即 。為了最有效的利用能量,生物體會演化出非常有效的分形結構以最大化表面積而吸收能量,所以, 最大化即得到1,類似的推理也適用於,因此總體就有 ,從而有
    我們看到,生物體的面積與長度不再成平方的關係而是三次方,同樣體積不再是三次方而是四次方,分形結構使得生物體能夠在更高的一個維度空間中發展,所以Geoffrey那篇文章題目就叫「生命的第四維」。分形的幾何形狀在Geoffrey的解釋中仍然起到了關鍵的作用。

    雖然West給出的解釋模型仍然不算完美,但是畢竟他是第一個給出類似解釋的人,並且分形網路的結構也非常有道理,且具有普遍意義。由於這一工作的重要性,G. West在之後的幾年裡名聲大噪,他先是當選為複雜系統研究的世界中心:聖塔菲研究所的所長,後來又成為美國時代周刊的新聞人物。

3、從分形網路到最優化

    前面提到,在West對3/4律進行解釋有一個重要的前提假設,即生物體內存在著一個具有分形結構的輸運網路。然而,生物體為什麼會形成這樣一種分形的自相似結構呢?這種分形結構的背後是否存在著更本質的原因?
    人們普遍相信,大自然進化似乎總是要把生物打造的更加精巧,從某種程度上來說就是讓它們具有更優越的、更有效率的結構。那麼,很有可能生物體內部普遍存在的分形輸運網路是因為自然進化造就出來的某種最優的、最有效率的結構。
    1999年,物理學家Jayanth R. Banavar在Nature上發表文章給出了一個更加巧妙的模型來解釋3/4律。Banavar的構想是這樣的,考慮一個如圖a這樣的由若干節點連接而成的網路:


     我們把這個網路設想成一個輸運資源流的網路。在圖中,節點0是提供給所有節點的資源流的源。每個節點可以跟它的有限個鄰居節點相連,並且對於任意一個節點都必須保證有一條從源到它的路徑。通過給這個網路加入一些合理的限制,同時運用數學推理,Banavar證明了,網路的拓撲結構可以決定資源運輸的效率,而資源效率最高的結構應該是如下圖c所示的網路,效率最低的網路是d所示的結構。具體推理過程,請參看這裡

    Banavar的模型不僅能夠解釋3/4律,而且還能解釋河流網路的形成等大自然中廣泛存在的輸運網路。但是值得注意的是,這個模型中新陳代謝率是與節點數成正比的,也就是它對應四持執媼俊6?艿納?鎦亓吭蚨雜ψ磐?縞系淖芰髁浚?饉坪跤胱畛醯男魯麓?渙髁亢蛻?鎦亓看媼恐?淶墓叵滌行┑叩沽恕4誘庖壞憷純矗珺anavar的理論也並非完美。(參看Banavar在Nature上的文章

    另一位採取類似思路對3/4律給出解釋的是傳熱學專家Adrian Bejan,他研究人工傳熱系統的最優化設計已經多年,並提出了稱之為構造定律(Construction law)的理論。構造定律是說,在一個由流動構造結構,結構又反過來影響流動的系統中,普遍存在著一種最優設計,這種最優設計就是一個分形網路,並且它可以使得系統中流動能夠達到最大。從這個最大化流動速度的角度出發,Bejan把生物體看作是一個傳熱的機器,從而他同樣得出了3/4分佈律。

Bejan的Shape And Structure,書中提到了一個叫做「Construction law」的定律,認為各種分形結構的產生是為了使得流動最大化

    通過這一章的討論我們看到,生物體普遍存在的冪律分佈關係背後很有可能是和某種自相似的分形輸運網路有著密切的關係。而進一步的研究表明,這種分形網路的形成是因為系統優化某種函數的結果。那麼,在自然界中,這種被優化的函數究竟是什麼呢?它有沒有更深刻的理論結果呢?我們需要在下一章繼續討論。

三、通向理論

(註:打有*號內容為作者適當的擴展和想象)

1、最大流原理

     在上一章我們已經看到,對3/4律的解釋需要用到一種分形結構的輸運網路;進一步,之所以自然選擇會創造這樣的分形網路,很有可能是因為系統正在試圖優化某種目標函數,從而創造了這樣的結構。那麼,這個目標函數究竟是什麼呢?它又有什麼具體的物理意義呢?

     從West到Banavar,再到Bejan,它們都提到了類似的優化目標,即使得系統中的資源流動更加順暢,更加有效率。進一步,我們可以把這個原理抽出來,即系統優化的目標是使得流動能夠達到最大,我們況且稱之為最大流原理吧。
     讓我們放眼大千世界,最大流原理似乎很有根據。我們中國存在著一句古話,就叫做「人盡其才,物盡其流」,也就是說社會發展的總目標就是要讓物品的流動能夠盡量順暢。的確,我們看到經濟的發展往往伴隨著物品流動速度的加快。火車在提速、GDP(經濟系統貨幣的總流量)在增長、物流行業在騰飛等等。
    在生態學領域中,著名生態學家Lotka早在1922年的時候就提出來了生態系統中的能量流動加快的原理。之後,該原理又被著名生態學家Odum命名為最大功率原理(Maximum power principle),這裡的功率就是能量除以時間,即能量流動。我們都知道,生態系統是由特定區域的多個物種由於相互作用而形成的整體系統。物種之間的相互作用可以抽象看作是一種能量的交換或稱之為流動。那麼,最大功率原理是說,生態系統作為一個整體的開放系統會由於進化的作用而逐漸趨向於系統內部的能量流動加快。(
參考Odum有關最大功率原理的文獻
    在Odum提出了最大功率原理之後,還有一批生態學家提出了許多類似的生態系統進化的目標函數。其中,最大化熵產生原理則與眾不同,因為它深深植根於非平衡態熱物理。著名的物理學家、化學家,複雜系統理論研究的先行者普利高津很早的時候就提出了一個類似的最小熵產生原理,只不過它僅限於平衡態附近的系統。進一步,很多人從不同的問題分別提出了處於非平衡態的系統朝向最大化熵產生的方向發展的理論,並在大氣系統、流體、電路等領域進行了成功的應用。(
請參考有關最大熵產生定律的綜述
    實際上,任何一種可用的能量在系統內部得到轉化和使用的時候都會產生大量的廢熱。這些廢熱是和熵的產生成比例的(見有關
熵的歷史的討論)。所以熵產生越大,就說明能量在系統內部的轉化得越快。而能量在系統內部的轉換又是靠能量流本身所驅動的,因此熵產生越大能量流動得越快。因此可以說最大功率原理和最大熵產生原理是一枚硬幣的兩面,它們同是更廣義的最大流原理的一種具體體現。

2、流動與時空

     為了進一步理解最大流動原理,我們可以考慮這樣一個形象的比喻:有很多水流源源不斷地從山頂流到山底,那麼水流會沿著什麼路徑流呢?如圖:

這裡我們用岩漿流來示例水流(因為實在不好找到水流的照片)

     有兩種可能的情況發生。第一種,地形不會因為水流的流動而改變。開始的時候,如果有多條路徑可供水流選擇,並且總流量是有限制的話,那麼會發現,越來越多的水流會集中在流動最快的那條路徑上。這不是因為水流具有多少聰明的智慧,而是因為快速疏導水流的路徑會導致水流在更短的時間裡產生出「虛空」,而這種「虛空」會引導更多的水流過來,這樣二者相互作用的結果就導致了我們僅能看到被水流選擇出來的快速的流動路徑。
    出人意料的是,這種水流與路徑的關係與螞蟻覓食的原理是如此之像。如下圖,假如螞蟻從巢穴出發,外出去覓食,當找到食物之後就會再次返回巢穴。如果有兩條路徑可以通向食物,一條較長,一條較短。開始的時候螞蟻們盲目的尋找路徑,但是隨著時間的推移,眾多螞蟻會越來越集中在那條從巢穴到食物的最短路徑上。

     其原因是,螞蟻在發現食物以後會釋放一種信息素,而且這種信息速會逐漸揮發掉。這樣開始的時候,如果有兩隻螞蟻都找到了食物開始往回走,並且都釋放信息素。這樣它們都會吸引更多的螞蟻過來。然而由於那隻走較長路徑的螞蟻需要較長的時間,因而這條路徑上的信息素也會因為揮發而變弱,這樣這條路徑就會吸引較少的螞蟻過來。所以,越來越多的螞蟻會集中在較短路徑上,並釋放更多的信息素,吸引更多的螞蟻過來。就這樣,所有的螞蟻基本都會集中在這條最短的路徑上。(請參考螞蟻覓食程序模擬
    在這個例子中,我們同樣看到了時間和流動的關係。這裡,我們不妨把眾多螞蟻看作是一種從巢穴到食物的流,而把螞蟻釋放的信息素看作是一種類似水流中的「虛空」,因此螞蟻往信息素最大的地方跑也就意味著水流朝「虛空」最多的地方流。較快的流動渠道因為需要較少的時間,因而導致了更多的「螞蟻流」選擇該路徑,從而導致了螞蟻一定流向流動最快的那條路徑。
    我們已經看到,實際上這裡面已經蘊含了自然選擇的原理。一方面,快速的路徑可以誘導水流,而水流又會選擇快速的路徑。如果我們把自然生態系統中的能量看作水流,那麼也就是能夠更快速地疏導能量流的物種會獲取更多的能量,因而具有更強的競爭優勢。因此,整個生態系統就會逐漸進化到使得能量流動加快,這就是最大功率原理。(
有關進化與熱力學之間的關係,請看最近的一篇綜述

    第二種情況是路徑可以被水流衝擊而改變。這樣如果路徑阻擋了水流的流動,那麼水流就會不斷衝擊它而改變路徑的形狀。這樣反覆沖刷的結果就會使得流動更加順暢。因此最後大自然構造出來的水流路徑一定是使得水流流速最快的一條。這樣,如果水的流入是一點,流出也是一點,類似河流中的一小段,那麼水流會造就一條最快的聯通兩點的路徑。但是如果水的流入是一點,而流出可能是非常多的點,那麼會怎樣呢?例如,從山頂的水流往往是從一點流下,但是山底卻有很多點可以讓水流流出。有趣的是,在這種情況下,水流就可以通過沖刷而構造出分形的樹狀結構,實際中的河流就是這樣的情況。


由真實水流沖刷而形成的分叉河流網路

     對於水流的這一描述完全可以搬到現實中的能量流。水流在真實的地形空間流過,能量可能在各種更加抽象的空間中流動。水之所以會流動是因為存在著高、低兩種地勢差,能量流動的原因也是因為存在著某種抽象空間中的勢差。例如,熱力學告訴我們,熱流總是流向溫度較低的物體,這裡面,不同溫度的物體就構成了一種勢差,溫度T就相當於是高度。高溫流向低溫,就相當於水從高處流向低處。
    太陽輻射大地不斷的注入一種能量流給地球,地球最終需要把這些能量變成一種廢熱而耗散到宇宙空間中去。這樣,太陽能量就構成了高勢,而輻射熱就構成了一種低勢。有了這兩種勢差,流動就一定會發生,這樣源源不斷地能量流就構造了我們看到的美麗地球。從陽光到植物的光合作用產生有機物和二氧化碳,這些有機物進一步被生物、人類使用,從而再把能量轉化為廢熱釋放到宇宙空間中,這一切都是能量流構造的,如圖:

     地球上的能量流不僅僅被路徑選擇,而且通過不斷的「沖刷」而創造了各種釋放能量的路徑,這就是能量流造物的奧秘。生態圈中的各種生物因為都要新陳代謝,所以,它們就構成了各種各樣的釋放能量的通道。然而真實的水流流動在真實空間中,能量流動在什麼空間呢?作者猜想,能量流動的空間可能是頻譜空間。詳細請看這裡
    
    能量不僅可以沿著路徑流動,同時路徑反過來又可以被能量流動所改變。當能量可以從一點注入,而可以從多點流出的時候,流動就會構造出分形的河流疏運網路結構。我們可以把這個過程抽象成下面的圖:

     在這張圖中,能量不斷從一個單點流入,而分叉成越來越多的細流。造成流動的原因是因為廣義的高度:勢的存在。它是一種不同節點之間的差異性。按照我們的猜想,也就是不同能量形式所存在的頻譜,它形成了空間中的一個重要維度。另外一個重要的空間維度就是橫坐標軸,能量流會在這個軸上分叉。如果我們僅僅畫出這個空間維度,那麼,不難看出,整個過程就好像是一個發生在該空間上的擴散過程。而且隨著時間的推移,能量流創造了越來越多的結點,那麼這些節點就會漸漸佔領更大的空間。

3、新的熱力學定律?*

     這種逐漸充斥整個空間、逐漸擴散的過程讓我們想起了一個有趣的定律:熱力學第二定律。想想,一瓶香水如果打開了瓶口,那麼香水就會擴散到整個空間。房間不打掃就會變得越來越臟,熱量不能自發地從低溫物體流向高溫物體,任何能量轉化的過程都伴隨著一定的廢熱產生,所有這些現象都與熱力學第二定律有關。
    歷史上,人們對熱力學第二定律的發現經歷了一段漫長而艱難的過程。開始的時候,人們先是從一些物理現象出發:如熱不能從高溫物體自動流向低溫物體、任何機器在工作的時候都會伴隨著大量的廢熱產生……。然而,將熱力學第二定律變成一種科學定律還要歸功於熵這個概念的提出。人們發現,熱力學第二定律所描述的那些過程實際上都伴隨著熵這個物理量的增加。
    有關熵概念的形成歷史,請大家
參看這裡。正文部分不進行詳細論述了。

    然而,熱力學第二定律、熵等概念僅僅是針對封閉的、處於近平衡態的系統討論的。在這裡我們更感興趣的是流動,是開放的系統,第二定律、熵等概念還能適用嗎?
    首先,值得肯定的一點是,我們還可以運用前面提到的「熵產生」這個概念。根據Clausius對於熱溫熵的原始定義,我們知道,在一定的溫度下,熵產生就等價於熱量的產生。然而,除此之外,熱力學似乎幫不上任何忙了,為什麼熵產生、能量流動會達到最大?經典的熱物理學不能回答。
    讓我們放眼現實世界,會發現一種特別有趣的現象:駐波。當一股溪水遇到了一塊石頭的時候,就會繞開它,並在石頭的旁邊形成有規則的駐波。仔細觀察會發現,雖然每個水滴在流動中都在變化,但是只要水流總量不變,那麼這股駐波就能穩定存在。其原因是駐波本身並不是一個物理實體,而是水滴相互作用在宏觀形成的一種構型(Pattern)。
    同樣,對於一個非平衡物理系統來說,如果它處於穩衡態,那麼也有可能某種宏觀的統計性質就像駐波一樣是穩定的,儘管它微觀的水分子是在不停變化的。如果我們切換一種視角,不去盯住那些微觀水分子本身,而是觀察每個水分子的運動過程,那麼我們會發現,由於系統處於了穩衡態,所以不停注入的流水是一個常量,也就相當於是一群固定的水分子運動的過程,同樣整個系統內部也會形成各種各樣較穩定的過程。我們不妨用箭頭表示這些小的過程,那麼水波就可以表示成:

     首先,只要系統處於穩衡態,那麼這些小的過程就是相對不變化的。而有趣的是,每個小過程本身並不是固定的水分子,而是不停地被新的水分子替換掉的流動過程本身。其次,一個開放的不停流入水分子的系統在這裡就變成了一個固定的封閉的系統。一個非平衡的系統對於這群小過程來說就變成了平衡的系統。
    如果我們把這些小的過程而不是真正的水分子比喻成氣體中的分子小球,那麼我們就會按照統計力學的推理原則構造出一套關於這些小過程的統計理論。那麼這一套統計理論就很有可能是解釋非平衡態物理系統的最終理論。

    有趣的是,法國物理學家R.C. Dewar在2003年的時候在Physica A上發表了一篇論文Information theory explanation of the fluctuation theorem, maximum entropy production and self-organized criticality in non-equilibrium stationary states,用一套統一的框架自然導出了最大熵產生原理,以及另外兩個著名的非平衡態系統中的重要現象:自組織臨界性、漲落定理。他用到的一個重要的基本思想就是將系統的變化路徑(水分子的運動過程)本身看作是微觀的對象。
    Dewar將
前面介紹過的Jaynes的最大Shannon信息熵原理運用到非平衡系統中,只不過信息熵定義中的狀態空間不是固定點構成的空間,而是系統演化的所有路徑構成的空間。這樣,信息熵值就是指一個過程在所有可能路徑上取不同概率的熵值。按照這樣的理解,我們可以得到最大熱力學熵產生原理,即作為最大化路徑的信息熵的一個推論。
    注意這兩個熵的不同之處。實際上,我們可以把這兩種熵理解為兩個層次的概念。在微觀層次,系統不同的演化路徑對應著不同的微觀的熱力學熵的產生。而在宏觀層次,我們把若干路徑看作為高一層次的基本粒子,這樣對於這群基本粒子來說它們在高一層次就又可以定義一種熵,這就是在Dewar的工作中被最大化的信息熵。因而,我們可以說最大化高層次的信息熵可以自然導致低層次的熵產生達到最大。我們知道,熱力學第二定律所說的最大化熵,就相當於最大化信息熵。所以,這裡的結論又可以翻譯為:最大熵產生原理是高一層次的熱力學第二定律的一個推論。

    要理解這個原理,我們不妨用經濟系統或者生態系統作類比。我們知道經濟系統中各個經濟體之間的交換就構成了一種貨幣或者商品流。那麼如果企業的種類繁多,生產的產品足夠多樣性,同時人們的消費也是多樣性的話,這就會創造出更多的消費渠道,也就可以使得貨幣或者商品的流動增加。因此商品空間中的多樣性造成了經濟流動的加強。
    在生態系統中,各個物種通過捕食與被捕食的關係構成了複雜的食物網路。在食物網中,每發生一次捕食與被捕食關係,就會有一股能量從網中的一個節點流向另一個節點。如果系統中的物種足夠豐富,那麼這裡面的捕食與被捕食的關係也就足夠多樣,因而粗略說,物種的多樣化就會導致系統中總體的能量流加強。物種的多樣性可以理解為物種在表型空間中的一種擴散行為,於是這就解釋了最大功率原理,即它是一種表型空間中熱力學第二定律的體現。
    如果這一原理是對的,那麼它很有可能成為新的熱力學定律:熱力學第四定律的候選。

4、流動的新理論*

     講到這裡,是時候回過頭來總結一下我們走過的這些路了。首先,我們從新陳代謝和生物體尺寸之間的3/4冪律關係出發,揭示出普遍存在於複雜系統流動現象的冪律關係;其次,我們提到了各種解釋這些冪律關係的模型,之所以會有這麼多冪律關係是因為生物體內存在著分形的輸運網路,並且這些網路作為長期進化的結果,它的結構會使得能量在生物體內的流動達到最快。進一步,我們提出了一個最大流原理,並給出了更深一層次的猜想:即流動的最大化可能是高層次空間上熱力學第二定律的表現。
    有趣的是,雖然這裡的討論往往集中在物理、生態、經濟等領域,但是流動的研究沒有理由僅僅局限於此。現實世界存在著更多的資源、流動、廣義的生態系統。

    更加抽象的資源流動還可能包括權利的流動。例如一家大型公司,大老闆擁有豐富的權利資源,他會把他的權利下放到他的下屬,這就是各個部門經理,部門經理又可以把權利資源下放到小組長,小組長下放到員工……。這樣權利資源的流動串聯起了整個系統,它們構成了一個層級的網路。

     在科研領域也可以利用類似的類比。有人將科研人員比喻成瘋狗,而新的思想或者新的學說比喻成肉。那麼如果哪位能夠拋出一塊肥肉,就會引起大量的科研瘋狗撲過來。於是這裡面新的學說思想就構成了廣義的資源流,撲過來的科研瘋狗就好比是不同的物種,他們相互傳播這股資源流形成了複雜的網路……。

    一個計算機軟體系統也可以看作是這樣一種廣義的生態系統。什麼是這個生態系統中的能量流呢?我們不妨假設CPU的執行相當於一種能量流。一個軟體不同程序部分的執行權利是由用戶決定的,這樣用戶就構成了整個軟體生態系統的太陽,他不斷地給系統輸入能量資源進來。被首先執行的軟體模塊相當於植物,被這些模塊調用而執行的模塊相當於吃草類動物,次級被調用的相當於食肉類動物。被執行次數越多的軟體模塊就相當於擁有越多能量的物種。這樣,整個軟體就由各個模塊以及相互之間的調用關係構造成一個複雜的食物網。好的軟體系統可以便利地被人們使用,因而就相當於能量流被最大化。我們甚至可以開發出一整套方法來研究如何優化軟體系統。(著名的人工生命系統:Tierra就是將程序比喻成物種,CPU執行時間比喻成能量而設計的)

    長久以來,人工智慧的研究始終沒有突破,這是因為人們忽視了機器學習的問題。然而,傳統機器學習理論往往都是從各種演算法的修修補補進行改進,沒有人從開放的流系統這個角度來思考人工智慧中的學習。如果把新的知識作為一種能量的來源,而把整個學習形成的各種知識積累作為一種促使能量流動的網路,那麼我們完全可以把機器學習系統看作是一個廣義的生態系統。於是,機器學習的目的也是為了能夠最大化這種廣義的能量流。也許,這種全新的視角可以給我們帶來新的認識。例如,機器學習系統中是否存在新知識與已有知識的冪律分佈關係?如果我們把遺傳演算法中的變異和交叉操作看作是一種注入的能量流,而把整個系統存在的規則、程序看作是一種存量的話,那麼是否流量和存量依然存在著冪律關係?或者說也許最優的設計就來源於這種冪律分佈關係?

    總之,這個主題才剛剛開始。有太多激動人心的發現等待著我們去發掘。


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發表評論 評論 (1 個評論)

回復 wazhh 2010-4-15 12:36
太辛苦了

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