如何求彎曲時空的曲率？廣相論37

《 場方程和微分幾何·廣相論37》 

  6、場方程和微分幾何 

場方程是建立在微分幾何基礎上的，

微分幾何水平不行，對一些概念是難以理解的。

對微分幾何，愛因斯坦也是在創立場方程過程中，

向他的數學家朋友現學的。

微分幾何是運用微積分來研究空間幾何性質的數學。

古典微分幾何起源於微積分，

內容是『曲線論』和『曲面論』。

歐拉、蒙日和高斯，是古典微分幾何的奠基人；

而近代微分幾何的創始人是黎曼。 

黎曼在1854年創立了黎曼幾何，

黎曼幾何是近代微分幾何的主要內容。

歐拉（Euler，1707－1783），瑞士數學家。

蒙日（Monge，1746～1818），法國數學家、物化學家。

高斯（英語：Gauss 1777－1855）， 德國數學家、天文學家。

黎曼 ( 1826—1866 )，德國數學家 

通過學習，我們了解到，場方程的計算，離不開黎曼幾何

（黎曼幾何就是彎曲空間幾何）。

1916年愛因斯坦創立了『引力場方程』，

引力場方程是一個二階張量方程，

或者說，引力場方程是一個

二階非線性偏微分方程*。

場方程是用『張量微積分』表述的。 

所謂『張量微積分』 

就是用張量場表述的微分方程。 

  【回顧與複習】

假設彎曲空間，有兩個點，靠得很近，

就可以把它寫成微分形式

（例如，可以把『微小距離』寫成 ds 形式。

就是說，數學符號ds表示空間彎曲程度的極小距離）。

在微分幾何中，

求彎曲空間曲線的長度（弧長），

需要先定義某一點的『切向量』長度（參看下面3幅圖）， 

然後，把這條『切向量』所經過的 

所有『微元距離』ds，用微積分算一下，

就可以求出『特定的線段』或『角度』來。

就是說，場方程包含了運用曲線坐標的微分計算

從而得出彎曲時空的曲率。

曲線在某點的『切向量』可以理解為

沿曲線在該點的『切線方向』的『向量』。

『切向量』是與曲線相切的『向量』。 

可以通俗理解為

切向量是與法線相互垂直的線， 

即曲線的法線是垂直於切線的。 

    謝謝閱讀。

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