看圖學習《曲面微分幾何》的基本概念（二）廣相論26

看圖學概念—— 

什麼是法線、法平面和主曲率……？ 

什麼是主曲率 ？ 

過曲面某點具有無窮個垂直曲率， 

其中存在一條曲線使得該曲線的曲率為『極大』， 

即其曲率為極大值（Kmax ）， 

而垂直於極大麴率面的曲率，為極小值（Kmin）。 

這兩個曲率就叫主曲率。 

舉例說明：在曲面上取一點 P， 

曲面在P點的法線為z軸

（Z軸在圖上沒有寫出來。Z軸可以視作是法線） 

過z軸可以有無限多剖切面（這裡，刨切面又叫『法平面』）

『法平面』與其下的『曲面』相交，

（這裡的曲面就是，其前曾強調的那個鼓鼓的倒扣鍋面）

其『交線』所形成的曲線，在P點有一個『曲率半徑』

（不熟悉的網友，請閉上眼睛想象一下這個曲率半徑）。

不同的法平面的曲線，在P點的曲率半徑是不相等的。

這些曲率半徑中，

有一個最大和一個最小的曲率半徑，

稱之為主曲率半徑，記作 k1 與 k2，

（比較難想象，需要反覆參看上面的3幅圖

  如果弄不懂，就先放一放。用不著跟它較勁。）

這兩個曲率半徑所在的方向，

數學上可以證明是相互垂直的。

設曲線C1、C2…在P點的曲率分別為Q1、Q2…。

在（Q1、Q2…）中的『最大值』和『最小值』，

就叫曲面在點P的『主曲率』。

這兩個主曲率的切線方向（或稱兩個法平面方向）

總是互相垂直的，稱之為曲面的兩個主方向。

【註釋】

一個平面與一個曲面相交，必定是一根曲線。

謝謝。

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