看圖學習《曲面微分幾何》的基本概念（一）廣相論25

親愛的朋友，在前一篇博文中，

我們說到，對於曲面上某個切點G，通過旋轉

（像旋轉木馬那樣）可以形成無限多面。

過切點G、且與『切平面』垂直的

那條線叫『曲面在點 G 』的法線。

過法線可作無限多法平面。

【友好提示】以上敘述有 2個要點

（1）不要把曲面想象成是二維的；

在這個例子中，曲面是三維空間中那個鼓鼓地倒扣著的圓鍋曲面。

【倒扣著的圓鍋的曲面】

（2）心中不要忘記 所有的變化都是過 G 點進行的。

補充註釋：曲面有二維、也有三維的。

畫在紙上的曲面是二維曲面，而空間的曲面是三維曲面。例如，

雨滴或肥皂泡一類的曲面，就三維曲面。

好了，現在可以再次想象那個圓鍋上的生日蛋糕，

拿一把小刀去切蛋糕——蛋糕的主人，人緣很好，

過生日這天，來了許多人，並且每人都想分一塊蛋糕，

通過分享與主人一起度過快樂時光……。

故事中的蛋糕可以魔幻般地被切成許多塊兒，

每個小塊都有刨切面，於是大蛋糕就出現了許多刨切面。

（註釋『剖切面』原本是為了繪製剖視圖所使用的假象平面。

剖視圖是用於表達物件內部結構形狀的，

剖視圖是假想的平面或曲面。）

每一刨切面都與下方那鼓鼓的三維曲面，

有一條過G點的相交切線，過 G點 能畫出無限多曲面曲線，

因而也能畫出無限多切線（所做切線均需過G點）。

如果您還想像不出來。那就再想一個球，然後鳥瞰這個球，

或者想象自己藉助神力，

  飛到天花板從高處往下看這球的上半部，

這時，你還可以看到有水從切點G處，緊貼球面往下流，

從而在球面上會形成許多水流的曲線，

重要的是，每條水流曲線都各有各的切線，

（這些切線的一端都被切點G拽著），

通過以上想象，如果還不明白，

那就先放下，等到以後有興趣時再來學習吧。

就是說， C曲線可以把它想象成由蛋糕流出的水滴匯聚成的水流，

C曲線就像水流，緩緩沿著『圓鍋的三維曲面』，順勢流下，

於是我們可以說曲線C的彎曲度是在G點的曲率（如圖所示）。

  萬分感恩、感謝。

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