開心(曲面)微分幾何
(曲面)微分幾何過於抽象,
對初學者來說,如果不詳加解釋,形同虛設、等於沒學,
這就有點像我們來到一個國家,
國內所有情景異常枯燥,毫無生氣,
除非不得己,一個正常人是無法在這裡活下來的。
話說數學家
是如何將彎曲時空的曲率
用到曲面微分幾何的呢?
下面舉例說明。先看一個栗子,

我們知道,對於曲面上某個切點G,
通過旋轉(像旋轉木馬那樣)可以形成無限多面
(由於紙面限制,圖中只出現一個面)。

每個木馬經過旋轉,
可以形成相應的無限多切面*和無限多切線*。
【註釋】
『切面』有『球切面』『圓柱切面』和『圓錐切面』。
下面先解釋一下什麼叫『球切面』
以及什麼是『切點』和『切線』。
(1)與球面只有一個交點的平面叫『球切面』。
(2)球與切面的公共點叫『切點』。
(3)和球只有一個公共點的直線,叫『球的切線』。
這些切線如果是在『一個平面』上
(該平面是處在與旋轉空間的
『豎直線』成90度的位置上),
按照相關定義,
我們稱『這個平面』是這個點的『切平面』。
傻了吧?再讀一遍、再讀一遍,仍模糊……,
好了,現在讓我們想象有一座旋轉木馬,
建築商(異想天開地)將這旋轉木馬,
建在一個山包上……嘿,等一下,
遊樂場建在山包上?誰還敢去啊?
那麼,就換一下,
讓我們想象,旋轉木馬是用生日蛋糕做成的,

我們可以把它放在一個『倒扣』的圓鍋上,
然後用小刀,把這個蛋糕,從『中軸線』處,
切成許多份兒,
於是會看到每一份兒都出現了蛋糕的切面,
這種切面也可稱『刨切面』(如圖)

細看這個蛋糕有個特點,
就是它比普通蛋糕含水多(即鬆軟許多),
蛋糕含有許多水分,
這時如果有個精靈利用魔法,
將蛋糕的水份聚集起來,
那麼被聚集的水,
就會像小瀑布似地
緊貼著圓鍋鼓鼓的立體曲面往下流淌
(如下圖)


待續。謝謝。