良苦的用心、末日的忠告；阿扁歷險記 廣相論18

阿扁歷險記——再釋彎曲空間的平移

如前述，所謂彎曲空間的『平移』，是將一個矢量（向量），平行於自身的方向，沿著空間一條曲線的移動。

在平坦的歐幾里德空間，這種移動是一目了然的。

現在想象有個極小、極扁的二維平面生物「阿扁」，阿扁生活在一張平面紙上。阿扁很聰明，他會用坐標系。阿扁感受到的幾何，是歐幾里德幾何，即他感受到，三角形的3個內角之和，等於180度，等等。 阿扁學過微積分、會計算許多圖形的面積，自然也懂得矢量（向量）等概念。阿扁所理解的平行移動，就是像下圖左邊所示的：矢量（向量）移動時，要保持與自己原來的方向平行。如何做到這點？即，只要保持這個矢量在直角坐標系的分量不變就可以了。分量是個常數。在圖中，直角坐標系是以紅色大十字表示的。那麼，到底什麼是『分量』呢？通俗地說，分量，即向量在X軸或Y軸上的投影。當選好坐標系后，向量就可以分解、或者說，向量就可以『投影』在坐標軸上，向量在坐標軸上投影的大小，即是向量的分量。投影 ，原來指圖形的影子投到一個面或一條線上。從初中數學角度說，用光線照射物體，在某個平面上（地面、牆壁等）得到的影子，叫做物體的投影，照射光線叫投影線，投影所在的平面叫投影面。

呆在平面紙上的阿扁發現，如果將向量沿著一條『閉曲線』平行移動一圈，

再回到原來出發點的話，向量的大小和方向不會改變，經過平行移動得到的向量和原來的向量一模一樣。 

 不過有一天，來了一個3維世界的小生物「阿三」，阿三看見阿扁生活的這張紙，他突發奇想，把這張紙剪去一個角。比如說，像下圖『中圖』所畫的情形：

阿三在紙上剪去一個40度的角，然後將剩餘圖形的兩條『紅綠剪縫』黏在一起，做成一個像下圖右邊所示的錐面。天道酬勤（這是一定的）：您可以起身去拿一張紙，按照中間圖所示，剪去一個40度的角，之後，用手把O點往上揪起來，就得到一個如右邊圖所示的『立體錐形』了。這時生活在紙上的小阿扁，沒有感到他的世界有什麼變化。在阿扁看來，他周圍的世界仍是平平的，那條紅色直角坐標軸幾乎紋絲不動地呆在原地。

當阿扁拿著他的（平面）陀螺儀  

沿著小圓圈C1或C2作平行移動，回到原來出發點時，陀螺儀的指向和原來一樣。這說明向量平行移動的規律沒有改變。不過，阿扁的技術越來越高，膽子越來越大，旅遊的地點也走得越來越遠。他逐漸發現一些問題。比如說，當他沿著右圖中所示的曲線C3走了一圈，回到原來出發點時，他的陀螺儀的指向和出發時候有了一個40度的角度差。這個40度的差，是根據錐形幾何及微積分公式算出來的。這個發現讓阿扁激動，於是，他進行了更多的平行移動實驗，繞了好多不同的圈，終於總結出一個規律：他生活的世界，在右圖中所標記的點O附近，有一個特殊區域，只要他平行移動的『閉曲線』包含了這個區域，陀螺儀的指向，就總是和原來出發時的方向相差40度。如果不是繞著這個區域轉圈的話，平行移動便不會使矢量的方向發生變化。當時的阿扁，技術還不夠精確，還沒有搞清楚這個區域是多大，況且，他也有點害怕那塊神秘兮兮的地方，不敢在那兒逗留過久，作太多探索，以防遭遇生命危險。阿扁喜歡讀書學習新知識，他從一本數學書中了解到，如果陀螺儀走一圈方向改變的話，說明自己所在的空間是彎曲的。因此，通過對多次實驗結果的總結，阿扁提出一個假設：他所在的狹窄世界基本還是平的，除了那塊奇怪的區域外！

再回到我們的世界來看球面幾何。陀螺儀走一圈后，其方向改變的值，叫做平移一周后產生的『角度虧損』，可用θ表示（國際音標/ˈθeɪtə/ 近似音『塞它』）。角度虧損與空間曲率有關。一個標準球面上的曲率處處相等。如果有某種生活在球面上的扁平生物的話，他沿任何曲線繞行一圈后，陀螺儀方向都會有變化，而且，『角度虧損θ』（『塞它』）是不固定的，『角度虧損θ』與繞行迴路所包圍的球面面積成正比。阿扁想通了這些道理，明白他的世界大多數地方都是平面的，只有一點不對，那一點附近的空間是彎曲的錐面。錐面是一個可展曲面。它所有地方的幾何都與平面上的歐幾里德幾何一樣，除了那個頂點以外。也就是說，錐面上每個點的曲率都等於0，但頂點是一個曲率等於無窮大的奇點（奇點是指在時空的曲率無窮大的那一點）。這時阿扁恍然大悟：原來我生活在一個錐面世界！——以上源自張天蓉博客。【說明】為了適合更多人觀看，引用時有『些微』增刪或改動。

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