廣相論16 湯姆如何在『彎曲空間 』 平行移動？

廣相論16 《湯姆如何在『彎曲空間』平行移動》

話說我們如何判定在曲面上所面對的是哪一種幾何呢？

最簡單的辦法是測量該曲面上三角形的3個內角之和是多少度：（1）傳統的『平面幾何』3個內角之和是 180度（平面幾何，就是歐式幾何）；（2）而『球面幾何』3個內角之和，大於 > 180度（球面幾何，屬黎曼幾何）；（3）『雙曲幾何』3個內角之和，小於 < 180度（雙曲幾何，即羅氏幾何）。

 一個觀察者在自己生活的空間所能夠觀察和測量的幾何性質，就是這個空間的內蘊性質（廣義相對論中，曲率就是最常見的內蘊性質）。比如說，球面的內蘊性質，就是生活在球面上的『 2維爬蟲 』所感受到的幾何性質。我們人類是 3 維生物，不是什麼 2維爬蟲。但是，因為地球很大，我們的肉身的尺寸比起地球來說是太小了。因此，我們可以將自己想象成是某種 2 維生物（暫閉雙眼，想象一下 把肉身放地球上—— 地球的體積，可是有約1萬億立方千米噢）。在相對論里， 一個觀察者，他在自己所處的空間所能做的幾何測量，只能是內蘊性質的測量（所謂研究內蘊性，就是研究曲面的「內在本質」）。比如，一個在捲曲白紙上生活的小蟲兒，它通過直感就可以斷定自己所在的空間是歐式幾何的，即空間曲率為零。 但是如果在三維空間的人看來， 這張白紙卻是彎曲的。我們在地球上測量一個『大三角形』，如圖中的『球面三角形』，

測地員將發現，這個三角形的三個內角都是90度，因此，內角的和 = 270度，即大於歐式幾何的180度。圖3 c下所顯示的是一個規則球面，

規則球面的空間彎曲程度，到處都一樣，但一般來說，還有許多空間的彎曲程度不一定處處相同，於是數學家就用「平行移動」的概念，來幫助研究（或用微積分來計算）空間的彎曲度。究竟什麼是廣義相對論中的平行移動呢？簡單地說，廣義相對論中的平行移動，就是將一個矢量*平行於自身的方向，沿著空間里『一條曲線』的移動。就像汽車上的陀螺儀，汽車沿公路運動時，陀螺儀總是平行於自己原來的指向。

*矢量，即向量！！ 

物理學上指由大小和方向共同決定的量。 如，力或速度等。

汽車陀螺儀能提供精確的測量，可提升汽車導航儀的推算。物理上，大家感興趣的是：一個向量『平行移動』一圈，回到原點時，它的方向是否會改變？？比如說，跟著汽車轉一圈的陀螺儀，它所指的方向，是否還和原來出發時的方向一樣？？也許你會不加思索地說：一樣，當然沒變。你這樣回答，是因為你習慣了用『歐氏空間』的直角坐標系來考慮問題。如果假設地面是一個歐幾里德平面，陀螺儀平行移動回到原處時，方向確實不會改變。但是，每個人都知道，地球近似是個球體，我們實際是活在球面上。那麼，如果從球面的角度，或者從別的什麼曲面的角度，來研究運動的方向，又會得出怎樣的結論呢？如前述，所謂「平行移動」是說，在移動向量時，儘可能保持向量方向、相對於自身，沒有變。彎曲空間的平行移動，好比一個人平行地前進、後退、左右移動，只要他的身體沒有（特殊額外地）扭動，這就叫平移。當他移動一圈兒，回到出發點時，他認為他應該和原來出發時，面對著同樣的方向。如果他是在平面上移動的話，他的這個想法是對的。但是，如果他是在球面的彎曲空間移動的話，他就不能保持與自己原來的方向了，因為他是沿著球面空間的曲線，在平行移動，他將發現自己面朝的方向不一樣了！出發時，他的臉朝左；回來時，臉卻朝前了，如圖 ：

待續。謝謝閱讀。

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