廣相論16 《湯姆如何在『彎曲空間』平行移動》

話說我們如何判定在曲面上所面對的是哪一種幾何呢?
最簡單的辦法是測量該曲面上三角形的3個內角之和是多少度:(1)傳統的『平面幾何』3個內角之和是 180度(平面幾何,就是歐式幾何);(2)而『球面幾何』3個內角之和,大於 >
180度(球面幾何,屬黎曼幾何);(3)『雙曲幾何』3個內角之和,小於 < 180度(雙曲幾何,即羅氏幾何)。
一個觀察者在自己生活的空間所能夠觀察和測量的幾何性質,就是這個空間的內蘊性質(廣義相對論中,曲率就是最常見的內蘊性質)。比如說,球面的內蘊性質,就是生活在球面上的『 2維爬蟲 』所感受到的幾何性質。我們人類是 3 維生物,不是什麼 2維爬蟲。但是,因為地球很大,我們的肉身的尺寸比起地球來說是太小了。因此,我們可以將自己想象成是某種 2 維生物(暫閉雙眼,想象一下 把肉身放地球上—— 地球的體積,可是有約1萬億立方千米噢)。在相對論里, 一個觀察者,他在自己所處的空間所能做的幾何測量,只能是內蘊性質的測量(所謂研究內蘊性,就是研究曲面的「內在本質」)。比如,一個在捲曲白紙上生活的小蟲兒,它通過直感就可以斷定自己所在的空間是歐式幾何的,即空間曲率為零。 但是如果在三維空間的人看來, 這張白紙卻是彎曲的。我們在地球上測量一個『大三角形』,如圖中的『球面三角形』,

測地員將發現,這個三角形的三個內角都是90度,因此,內角的和 = 270度,即大於歐式幾何的180度。圖3 c下所顯示的是一個規則球面,

規則球面的空間彎曲程度,到處都一樣,但一般來說,還有許多空間的彎曲程度不一定處處相同,於是數學家就用「平行移動」的概念,來幫助研究(或用微積分來計算)空間的彎曲度。究竟什麼是廣義相對論中的平行移動呢?簡單地說,廣義相對論中的平行移動,就是將一個矢量*平行於自身的方向,沿著空間里『一條曲線』的移動。就像汽車上的陀螺儀,汽車沿公路運動時,陀螺儀總是平行於自己原來的指向。
*矢量,即向量!!
物理學上指由大小和方向共同決定的量。 如,力或速度等。

汽車陀螺儀能提供精確的測量,可提升汽車導航儀的推算。物理上,大家感興趣的是:一個向量『平行移動』一圈,回到原點時,它的方向是否會改變??比如說,跟著汽車轉一圈的陀螺儀,它所指的方向,是否還和原來出發時的方向一樣??也許你會不加思索地說:一樣,當然沒變。你這樣回答,是因為你習慣了用『歐氏空間』的直角坐標系來考慮問題。如果假設地面是一個歐幾里德平面,陀螺儀平行移動回到原處時,方向確實不會改變。但是,每個人都知道,地球近似是個球體,我們實際是活在球面上。那麼,如果從球面的角度,或者從別的什麼曲面的角度,來研究運動的方向,又會得出怎樣的結論呢?如前述,所謂「平行移動」是說,在移動向量時,儘可能保持向量方向、相對於自身,沒有變。彎曲空間的平行移動,好比一個人平行地前進、後退、左右移動,只要他的身體沒有(特殊額外地)扭動,這就叫平移。當他移動一圈兒,回到出發點時,他認為他應該和原來出發時,面對著同樣的方向。如果他是在平面上移動的話,他的這個想法是對的。但是,如果他是在球面的彎曲空間移動的話,他就不能保持與自己原來的方向了,因為他是沿著球面空間的曲線,在平行移動,他將發現自己面朝的方向不一樣了!出發時,他的臉朝左;回來時,臉卻朝前了,如圖 :

待續。謝謝閱讀。