百年世事三更夢，萬里江山一局棋；什麼是內蘊幾何？ 廣相論15

《廣相論之15·內蘊性幾何 》

親愛的朋友，前面我們說到，對『空間曲線』（二維）的研究，

是用『微分幾何』的方法，『微分幾何』比『歐氏幾何公理』要精準得多。

同時，『微分幾何』還可以用在對『空間曲面』（三維）的研究上。

上圖是一個三角形，沉浸在一個鞍形面上，圖上還有兩條發散的超平行線噢。

馬鞍面上的幾何，

就是前面介紹的羅巴切夫斯基幾何，又被稱為『雙曲幾何』。 

『空間曲面』的形狀，可以分為兩大類a.不可展曲面;b.可展曲面。

初看 圖2 a 和 圖2 b  所畫的曲面，也許看不出這兩類圖有什麼區別——

認為不管可展還是不可展，看起來都是「彎曲」「不平的」。

但是，仔細觀察，就會發現，

『可展曲面』的「彎曲」與『不可展曲面『的「彎曲」有著本質的區別。

簡單地說，可展曲面在本質上是「平的」，它們可以被展開成一個平面。

比如，將圖2 b所示的錐面  

用剪刀剪一條線直到頂點，就可以沒有任何皺褶地將它平攤到桌子上。

     柱面也可以沿著與中心線平行的任何直線剪開，成為一個平面。

但是，圖2a所列舉的『不可展曲面』，就不能展開成平面了。

那是真正的、本質上的「不平」。一頂做成了近似半個球面的帽子，

你無論怎樣剪裁它，都無法將其沒有皺褶地攤成一個平面。

另一方面，

你用一張平平的紙，很容易捲成一個圓筒（柱面）

或者是做成一頂『錐形帽子』

但你無法做出一個球面來。你頂多只能將這張紙剪成許多小紙片，

粘成一個近似的球面！

談到這兒，大概已經明白「可展」和「不可展」的區別了。

儘管『兩類曲面』在嵌入3維空間后，

看起來都是彎曲的，但是，『可展曲面』的內在本質是「平的」；

不可展曲面的內在本質是「不平」。

區分這兩類曲面的「內在本質」，叫「內蘊性」研究，

研究這種性質的幾何，叫『內蘊幾何』。黎曼幾何就是『內蘊性幾何』。

曲面的內蘊性最早被「數學王子」高斯所注意，

後為黎曼所發展，並推廣到『大於3』的n維流形*

【*流形（Manifolds）是局部具有『歐幾里得性質』的空間】

黎曼幾何就是一種『內蘊幾何』。換言之，

內蘊性指的是曲面（或曲線）不依賴於它在三維空間中嵌入的方式。

也就是說，內蘊性是曲面某些內在的、本質的幾何屬性。待續。謝謝。

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