卡邁克爾數是什麼？

http://www.guokr.com/question/636840/

滿足如下條件的自然數n叫Carmichael數：n是合數，並且對所有在1和n之間的自然數b（<img src="http://2.im.guokr.com/formula/1c02a8ca38b14ddcf0e87831d40c68272c42bc19.svg" data-math="1<b），有。

為什麼數學家會研究這樣的數呢？這要從費馬小定理說起。

大家對費馬這個業餘搞數學的法律工作者應該比較熟悉了。當時他的工作不允許隨便出去跟別人玩，於是他就在家裡玩數學，玩得青史留名。費馬小定理就是他眾多結果裡邊比較有名的。

費馬小定理：對於一個素數p，取任意與它互質的正整數b，必定有。

然後有人就開起了腦洞：如果將費馬小定理反過來用會怎麼樣呢？如果對一個正整數n，取任意與它互質的正整數b，都有的話，是不是就說明n是一個素數呢？實際上，根據模的性質，我們可以只考慮1和n之間的b。這實際上就是費馬小定理的逆命題。如果這是對的話，那麼就成了一個判別素數的好方法了，只需要檢驗一下這些乘方就可以了。

然而事情並沒有那麼單純。真命題的逆命題不一定是真命題，而費馬小定理恰好就是一個這樣的例子。那些違反費馬小定理的合數n，就是Carmichael數，有時候又叫絕對費馬偽素數（absolute Fermat pseudoprimes）。

於是，知道這些數的規律，就能避開它們。而且作為數論中的有趣反例，它們在數論中也有一定的意義。

然後這位工人，他到底發現了什麼呢？因為我找不到具體的公式，只能網上搜了幾幅圖片來推斷。我覺得，他的發現很可能與以下論文中的Theorem 2,3,4有關：

Chernick, J. (1939). "On Fermat's simple theorem" (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 45: 269–274.

我感覺這位工人大概不是民科，而是一般的數學愛好者，但是我也沒有證據。在看到詳細的論證之前，我自己感覺下結論說這個結果是不是新穎還為時尚早。不過，在力所能及的範圍內，嘗試用正確的方法論鑽研數學，這還是值得鼓勵的。這位工人的弱點可能在於不懂得做證明，不熟悉形式論證的方法，而這些方法對數學研究是非常重要的。

---------------------------------------

修改的分割線：

找了一下，找到了具體的公式：(6k+1)(18k+1)(54k^2+12k+1)，如果三個因子都是素數，那麼乘積就是Carmichael數。而Chernick的結果中的因子都是一次式，這裡有一個二次式。那麼，一個自然的問題就是：這個結果可以推廣嗎？Chernick的結果可以推廣到一大堆別的形式上，如果現在這個公式也可以推廣的話，那就更有趣了。

• [04/04]說說樂觀與悲觀（中英文）
• [04/24]圖--有教養的嫖客
• [05/10]嘗試喉糖
• [05/10]美國支票數字金額標準寫法
• [06/26]06242016東村同性戀集會
• [07/26] 卡邁克爾數是什麼？
• [03/20]紐約證婚人
• [04/17]380產品
• [04/17]手機通訊錄備份數據製作網頁
• [04/22]381產品型號
• [05/07]手機用於倉庫管理
• [11/08]代數幾何相關文章轉載
• [11/12]警句

• 查看：[516e的.最新博文]
• 查看：[大家的.最新博文]
• 查看：[大家的.其它日誌]