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供求約束方程組和約束市場

作者：mali50 於 2014-9-2 10:22 發表於最熱鬧的華人社交網路--貝殼村

通用分類:政經軍事

關鍵詞：西方經濟學, 市場經濟, 自由市場, 諾貝爾, 方程組

《自相矛盾的供需曲線》揭示了作為西方經濟學奠基石的供需曲線在供需平衡時，需求與價格的關係與需求定理相矛盾。有著數不清的諾貝爾經濟學獎的西方經濟學居然長期存在如此幼稚的邏輯悖論看起來不可思議，實際上毫不奇怪。因為西方經濟學不過是披著經濟學外衣的政治學，因此並不關心事實如何。這矛盾重重的供需曲線反映的是資本壟斷市場的供求關係。而供求平衡是自由市場調節的結果。硬要用自由市場經濟的光環為壟斷經濟喬裝打扮便不能不產生矛盾。為了詳細解釋這一點，首先需要了解市場經濟最基本的特徵。

市場經濟中最重要的關係是產銷關係，也就是供求關係。供求關係直接影響商品的價格和銷量。因此在市場經濟中至少有三個最主要的變數：供應量S、需求量D和價格P。這裡沒有考慮產品的生產過程和勞動價值，因為不涉及經濟發展的動力過程，而只分析這三個市場變數之間的關係和變化特徵。這三個變數都是時間的函數，並且相互關聯。它們之間的關係千變萬化，可引起市場的穩定和不穩定。

這三個市場變數是如此重要，但現有經濟學卻對它們缺乏有效的研究手段。這是因為很難在千變萬化的市場上確定它們的變化函數。但不妨從研究基本的市場模式開始，從理論上揭示幾種具有代表性的市場特徵，如穩定市場、周期市場和不穩定市場等。它們存在的條件有助於我們了解目前的市場特性和判斷未來的走向，甚至預報實體經濟中危機的發生等重大經濟事件。

一般來說科學研究通常有兩種完全不同的方法。一種是由簡到繁，一步一個腳印穩紮穩打。另一種是一上來就眉毛鬍子一把抓，面面俱到，彷彿百無一失，結果往往是忙碌了多年仍然一事無成，只是增加了無數定義模糊的新名詞和無休無止的爭論。後者是研究複雜問題時常見的作法，為的是佔領輿論高地，而不是真想弄明白什麼問題。這裡採用第一種方法從最簡單的市場波動模型開始。科學不怕簡單而怕出錯。目前的經濟學是雜亂無章並漏洞百出，結果連最基本的供需曲線都自相矛盾。這就是眼高手低不求甚解的結果。

通常市場可以分成穩定和擾動兩個部分。人們最關心的是市場的波動和不穩定因素。這裡將主要分析市場的擾動特徵。分析三個最基本的市場變數，至少需要三個獨立方程構成的方程組。第一個方程是著名的供求關係。它最簡單的數學形式是

dP/dt = - a1*(S - D)

其中-a1是價格的供求變率或供求彈性(係數)，通常有a1 > 0。這個方程可以叫作價格約束方程或價格方程，說的是價格受供求關係的約束，故隨供求失衡而變。價格的供應彈性可以不同於需求彈性。這裡討論的是最簡單的市場，所以採用相同的供求彈性係數。由於a1 > 0，供不應求時有S < D和dP/dt > 0，這時物價上漲。供過於求時有S > D和dP/dt < 0，物價回落。除了供求關係外，影響物價的還有其它因素，因此價格方程可以有更複雜的形式，供求彈性係數也可以隨時間變化。這裡只是介紹最簡單的一種。

第二個方程是供應約束方程或簡稱供應方程：

dS/dt = a2*(P – Ps)

其中a2是供應的價格變率或價格彈性(係數)，Ps是供應基價。當a2 > 0時，產商在價格超過供應基價後會增加供應牟取更大利潤。反過來，如果價格低於供應基價，產商會減少供應。投機商也會屯積起來利用供求關係等待價格回升。可見供應基價是增加供應的門檻。門檻增高，供應會減少。增加供應則可以供應基價這個降低門檻。為什麼這個方程叫作供應約束方程？因為當供應隨價格增加到超過需求量時，供求關係又迫使價格回落，從而減小供應量的增加速度。於是供應約束方程與價格約束方程之間還存在著相互約束的關係。

這樣的約束關係也適用於需求量的變化。於是有類似的需求約束方程或需求方程：

dD/dt = - a3*(P – Pd)

這裡的- a3是需求的價格變率或價格彈性(係數)，Pd是需求基價。當a3 > 0時，需求量會因價格低於需求基價而增加，或因高於需求基價減少。這時需求基價是減少需求的門檻。門檻增高說明需求量增大，需求量減少則會降低需求門檻。同樣地，當需求量因價格減低到一定程度后不斷上升的同時，需求量可能超過供應量。這時供求關係迫使價格回升，從而減小需求量增加的速度。需求約束方程與價格約束方程之間存在著同樣的約束關係。這三個方程構成一個閉合方程組，即供求約束方程組簡稱供求方程組。這個方程組只是描述在供求關係約束下的市場變化，而不涉及變化的動力因素，因此也可以稱為市場約束方程組。受市場約束方程式控制制的市場就叫作約束市場。

市場變數之間的約束關係說明這樣的市場是一種穩定市場，而且可以有某種周期性特徵。這是可以在數學上得到證明的。對供求約束方程求導得

P''(t) = - a1*(S'(t) - D'(t))

把供應約束方程和需求約束方程代入其中後有

P''(t) + a1*(a2 + a3)*P = a1*(a3*Pd + a2*Ps)

熟悉振動力學的一眼可以看出這是個的振動方程。方程的解是頻率為

ω= √[a1*(a2 + a3)]

的周期函數

P = C1*cos[√[a1*(a2 + a3)]t] + C2*sin[√[a1*(a2 + a3)]t]

+ (a2*Ps + a3*Pd)/(a2 + a3)

震蕩頻率與各彈性係數正相關，但與供求基價無關。C1和C2是常數，可由初始條件和最後條件確定。例如t = 0時，P = P0的話，可以解出

C1 = P0 – (a2*Ps + a3*Pd)/(a2 + a3)

為了簡單起見，還可以設C2 = 0。這只是影響震蕩的初位相，而不影響震蕩特徵。價格震蕩的時間周期是

T = 2π/√[a1*(a2 + a3)]

在一個周期上的平均價格可以由

Pmean = [∫Pdt(t=0,T)]/T

來計算。由此獲得周期平均的價格是Pmean = (a2*Ps + a3*Pd)/(a2 + a3)。當供求基價相差不大時，周期平均價格接近於這些基價的平均值。如供求基價相等或Ps = Pd，有Pmean = Pd。這時的平均價格就是供求基價。

圖一：約束市場的周期變化(Pd < Ps)

將P代入供應約束方程和需求約束方程后再積分便可獲得供應和需求的時間函數。圖一給出這三個市場變數的時間曲線。為了方便起見，三條曲線的單位選擇使其能在一張圖中清楚地顯示出來。三個市場變數都是周期曲線。由於在時間坐標中表現為波動，市場震蕩又可叫作市場波動。約束市場有如電磁場。市場約束方程組如同麥克斯韋電磁方程組一樣，描述的是約束市場最基本的周期性質。需求場與供應場之間也存在相互作用。磁場中的移動導線會引發電流進而產生電場。需求場中的生產資料和勞力運作能產生市場需要的生產線和產品進而形成供應場。由於需求的價格彈性係數與供應的價格彈性係數符號相反，供需曲線的位相是相反的。價格曲線的上升段對應於S < D的部分，下沉段對應於S > D的部分。這正是供求關係對價格約束的結果。

圖中的供需曲線除了隨時間震蕩外，還表現出隨時間減小的趨勢。這是因為在這個例子中採用的需求基價Pd小於供應基價Ps。這時增加供應的門檻高於減少消費的門檻，也就是說沒有及時增加供應量。結果就是供應量和需求量都跟著下降。如果增加供應的門檻低於減少消費的門檻或Ps < Pd，供需曲線由於供應充分顯示出隨時間上升的趨勢。在供需曲線的這些不同的趨勢中，供應基數、需求基數和價格都可以保持不變。當兩個基價相同時，供需曲線是圍繞著固定的數量震蕩，平均供應量和需求量都不隨時間變化。需求曲線與價格曲線一樣呈水平波動。從這裡可以看出供求基價影響的是市場波動的長期趨勢。這也可以從波動頻率中看到，因為波動頻率只與各彈性係數有關，而與供求基價無關。

圖二：約束市場的供需曲線(Pd < Ps)

圖二是約束市場的供(黑線)求(紅線)曲線在傳統坐標中的表現。讓人跌落眼鏡的是周期市場的供需曲線是螺旋線。綠色箭頭表示 Pd < Ps時，螺旋線向左或向減小的方向移動。也就是說供應基價大於需求基價時，無論是供應量還是需求量都呈現減小的趨勢。當 Pd > Ps或供應基價小於需求基價時，螺旋線向右或向增大的方向移動。這時的供應量和需求量都顯示出上升的趨勢。圖中順著時間增大的方向，黑色的供應螺旋可用右手法則來定向，而紅色的需求螺旋可用左手法則來定向。而當 Pd > Ps時，同樣的圖顯示供需螺旋的兩手法則正好相反。左手定向需求螺旋，右手定向供應螺旋。

當Pd = Ps，或者說供需基價相等時，螺旋線變成如圖三所示的閉合橢圓。無論是供應量還是需求量都不表現出任何周期平均的趨勢。在滿足邊界條件的情況下，周期平均的供應量和需求量相等，也就是說市場余量為零。圖三顯示的供求同心圓或橢圓的面積不同，因為供需曲線的震蕩平面與供應面和需求面的夾角不同。而這兩個同心圓實際上是投影在不同的面上，只是為了方便才在圖中重合在一起。不同的夾角可以從圖四中發現。由於橫坐標和縱坐標的比例尺不同，不容易一眼看出，如果把綠色的震蕩線(面)投影到兩個坐標軸上就不難發現。

圖三：約束市場的供需曲線(Pd = Ps)

如果通過需求橢圓中心分別作一條水平線和垂直線，可以把需求曲線分成四個部分。右上方和左下方的曲線斜率小於零，對應的是馬歇爾商品，也就是由馬歇爾的需求定理所說的需求與價格反相關的商品。而左上方和右下方的需求曲線的斜率大於零，對應的是吉芬商品，也就是需求與價格正相關的商品。十九世紀維多利亞時代的英國經濟學家吉芬發現當時英國進口小麥(也有說是土豆)的價格提高后，麵包(或土豆)的銷售量反而增加。這一現象有違馬歇爾的需求定理。西方經濟學於是把需求隨價格增長而增長的商品叫作吉芬商品。

雖然真實市場上存在大量的吉芬商品，吉芬商品一直被西方主流經濟學視為例外。因為西方經濟學的現有理論無法解釋吉芬商品出現的必然性。但在約束市場中，馬歇爾商品和吉芬商品隨供需平衡的需要交替出現，避免發生不穩定的市場發散現象。難怪2001年以來，中國經濟學界就馬歇爾的需求定理和吉芬商品展開過一場大討論。參戰學者之多討論時間之長和影響範圍之廣實為罕見。然而至今依然沒有定論。引進了市場約束方程組后，這個問題不難解決。

約束市場的震蕩或波動在供需平面坐標中的影像如圖四所示。這些震蕩很像《自相矛盾的供需曲線》中圖二到圖四中所作的供需曲線示意圖。這裡的綠線表示需求基價與供應基價相等時，也即Pd = Ps時的市場震蕩。這時的供應曲線和需求曲線完全重合。當需求基價小於供應基價或Pd < Ps時，震蕩變成從綠色起點開始向左下方傳播的波動。當需求基價大於供應基價或Pd > Ps時，波動向右上方傳播。波動中曲線斜率的周期性變化反映了供需比例圍繞著平衡點的交替變化。

圖四：約束市場的供需曲線在供需面上的投影

圖五是約束市場的供需曲線在需求、供應和價格構成的三維市場空間中的展示。三維供需曲線在各個坐標面上的投影就是圖二和圖四。前面的供需螺線在三維市場中實際上是供需螺管。在供求關係的約束下，螺管分別向供需增大或減小的方向延伸，取決於需求門檻是高於還是低於供應門檻。當供需基價相同時，螺管蛻化成二維的螺圈，不再顯示長期變化的趨勢。