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國際圓周率日和祖沖之

作者：名用戶於 2010-3-15 06:14 發表於最熱鬧的華人社交網路--貝殼村

通用分類:其它日誌

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今天是國際圓周率日(National PI Day).說起圓周率，就想起少數幾個中國古代科學家之一，祖沖之。祖沖之在公元460年, 計算出圓周率π的真值在3.1415926和3.1415927之間。他是世界上第一位將圓周率值計算到小數第7位的科學家。直到一千多年後才由15世紀的阿拉伯數學家阿爾·卡西以17位有效數字打破此記錄。

但是，在一千五百年前祖沖之是究竟怎麼計算出圓周率的呢？至今，仍是一個謎，因為祖沖之所著的數學專著《綴術》已經失傳。但人們猜測是使用割圓術。

用割圓術來求圓周率的方法，大致是這樣：先作一個圓，再在圓內作一內接正六邊形。假設這圓的直徑是2，那麼半徑就等於1。內接正六邊形的一邊一定等於半徑，所以也等於1；它的周長就等於6。如果把內接正六邊形的周長6當作圓的周長，用直徑2去除，得到周長與直徑的比π=6/2=3，這就是古代π=3的數值。但是這個數值是不正確的，我們可以清楚地看出內接正六邊形的周長遠遠小於圓周的周長。

　　如果我們把內接正六邊形的邊數加倍，改為內接正十二邊形，再用適當方法求出它的周長，那麼我們就可以看出，這個周長比內按正六邊形的周長更接近圓的周長，這個內接正十二邊形的面積也更接近圓面積。從這裡就可以得到這樣一個結論：圓內所做的內接正多邊形的邊數越多，它各邊相加的總長度（周長）和圓周周長之間的差額就越小。從理論上來講，如果內接正多邊形的邊數增加到無限多時，那時正多邊形的周界就會同圓周密切重合在一起，從此計算出來的內接無限正多邊形的面積，也就和圓面積相等了。不過事實上，我們不可能把內接正多邊形的邊數增加到無限多，而使這無限正多邊形的周界同圓周重合。只能有限度地增加內接正多邊形的邊數，使它的周界和圓周接近重合。所以用增加圓的內接正多邊形邊數的辦法求圓周率，得數永遠稍小於π的真實數值。劉徽就是根據這個道理，從圓內接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數，一直計算到內接正九十六邊形為止，求得了圓周率是 3.141024。把這個數化為分數，就是157/50。劉徽所求得的圓周率，後來被稱為「徽率。

祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據《隋書·律曆志》的記載。他計算的結果共得到兩個數：一個是盈數（即過剩的近似值），為3.1415927；一個是朒數（即不足的近似值），為3.1415926。圓周率真值正好在盈朒兩數之間。《隋書》只有這樣簡單的記載，沒有具體說明他是用什麼方法計算出來的。不過從當時的數學水平來看，除劉徽的割圓術外，還沒有更好的方法。祖沖之很可能就是採用了這種方法。因為採用劉徽的方法，把圓的內接正多邊形的邊數增多到24576邊時，便恰好可以得出祖沖之所求得的結果。

這個24576 邊。你讓我現在做，我也做不出。