斷章師爺 漫談2010年度諾貝爾物理學獲獎項目石墨烯（三）

作者：斷章師爺 在 蘆笛自治區 發貼, 來自海納百川

 

漫談2010年度諾貝爾物理學獲獎項目石墨烯（三）
斷章師爺

諾貝爾物理學獎評選委員在頒發新聞時指出「石墨烯，作為電導體，它和銅有著一樣出色的導電性；作為熱導體，它比目前任何其他材料的導熱效果都好；石墨烯還是目前世界上最為堅固的材料；…… 如果和其他材料混合，石墨烯還可用於製造更耐熱、更結實的電導體，從而使新材料更薄、更輕、更富有彈性，因此其應用前景十分廣闊。……同時，有望幫助物理學家在量子物理學研究領域取得新的突破
。」

關於石墨烯種種奇異的物理和化學性質，網路上不乏報導。《維基》和《百度》的介紹更是全面和詳盡，就不重複贅余了。這兒想談談石墨烯的問世對於量子物理學研究的意義。

我們知道限於昂貴的設備，苛刻的條件，不少相對論、量子電動力學和凝聚態物理學中的現象在實驗室中輕易觀察不到。相對論量子力學中的一些效應通常需要設計特殊的實驗條件，譬如在黑洞中產生的粒子與反粒子對，或者超重核的真空撞擊等。但是石墨烯的出現使得其中一些實驗可以在極其普通的條件下實施。

石墨烯的這些優越性歸因於其特殊的電子結構，這種二維晶體是由2種亞晶格組成的，在它們之間的量子力學跳躍形成了2種能帶。這2種能帶的相互作用使得在石墨烯Brillouin區域（即晶體倒易點陣的原胞，由法國物理學家Leon Brillouin 提出）的6個角附近產生了狀似2個頂尖對置的圓錐形的能譜。觀察結果表明石墨烯的能隙為零（能隙是導電帶與價電帶之間的能量差）。描述石墨烯中電荷載體的行為不能用通常的Schrödinger方程，但是可以用類Dirac 方程。石墨烯的電子能量與Fermi 速度（約為光速的300分之一）成線性關係，通常的金屬和半導體中的電子則呈拋物線形的色散關係。由於這種能量與動量（Fermi 速度）的線性關係，使得石墨烯中的粒子行為與通常的金屬和半導體迥然不同。實驗結果表明在石墨烯的Dirac點（Brillouin區域中的角通常被稱為Dirac點）附近電子和空穴的物理行為恰象由類Dirac方程描述的相對論性的自旋（1/2）粒子。所以，石墨烯中的電子和空穴被稱為狄拉克費米子（Dirac Fermions）。在石墨烯中的Dirac點處，電子直接變為空穴，反之亦然。這就為驗證一些量子電動力學現象提供了一條簡單的途徑。

先舉一個Klein佯謬的例子。這個物理學術語指的是一種直覺的相對論性過程：相對論性的粒子可以在概率為一的情況下穿透一個相當高和相當寬的勢壘，而且幾乎與勢壘的高度無關。對於非相對論性粒子，穿透率隨著勢壘的增加而呈指數遞減。下面介紹一個具體模型。在二維笛卡爾坐標平面中設置一個靜態的排斥勢壘，勢壘呈階梯函數：在左面的區域I（即第2象限）中的勢能V(x)=0；在右面的區域II（即第1象限）中的勢能V(x)=Vo。假設位於區域I中的電子波從左至右射向勢壘，計算結果表明，進入了右面區域II（即第1象限）中的入射波的傳播方向居然發生了倒轉，而左面區域I（即第2象限）中的反射波的強度竟然得到了增強。上述結果是瑞典籍的猶太物理學家Oskar Klein(1894 - 1977)在1929年進行計算時得到的，這種現象明顯有悖於經典物理學觀念，因此被稱為Klein佯謬（Klein paradox）。

半個多世紀以來，對Klein佯謬進行解釋的理論和假說形形色色，五花八門。其中，根據Dirac空穴理論的解釋比較容易接受。通常教科書在介紹自由粒子的Schrödinger方程時，都假定粒子的能量和動量滿足經典力學的關係（即能量等於動量平方除以2倍的質量）。其實這個經典關係只是動能的非相對論極限。倘若代之以相對論力學的關係（即能量平方等於動量平方和光速平方的乘積加上質量平方和光速4次方的乘積），並將其動量算符式作用到波函數，就可以得到自由粒子的Klein - Gorden方程。求解該方程，可以得到正負二組解。這兒的負解不能隨便丟棄。因為在有外場存在的情況下，正負能級之間可以發生躍遷。然而當時物理學界對於負能態和負概率等的意義並不清楚。1930年Dirac提出了空穴理論，並且預測了正電子的存在。他設想由於某種原因，使體系中少了一個負能電子，遂留下了一個負能級的空洞，Dirac把之稱為空穴（hole）。根據Dirac方程的對稱性可以證明空穴的質量等於電子的質量。1932年C.D.Anderson在研究宇宙射線時發現了這種粒子，並稱為正電子。正負電子對能級在外場中湮滅，同時產生光子。空穴理論的解釋是電子從正能級躍遷到負能空穴，併發射了光子。

在Klein佯謬描述的環境里，相對論性粒子可以很輕易地穿越又高又寬的勢壘，成功率高達100%。一般的量子力學穿越隧道的理論認為非相對論性的低能粒子穿透高能勢壘的幾率永遠不可能是100%：隨著勢壘變高變厚，穿越的可能性也隨之減小。量子電動力學與經典量子力學的區別在於：相對論性的粒子總是伴隨著它們的反粒子。根據A.Einstein著名的質能方程式，一對正負反粒子子可以從真空「獲取」能量，隨之又很快湮滅，並把能量「歸還」給真空。因此當相對論性的粒子遇到勢壘時，就會轉換成它的反粒子，根據R.P.Feynman的概念，反粒子等價於時間倒流的粒子，（就是在過去和未來之間保持對稱性）。從過去向未來運動著的某個粒子，是和從未來向過去運動著的一個反粒子相對應的。現實世界里的「山峰」，在反粒子就成了「山谷」。反粒子很容易就通過這個反物質世界的「山谷」，到達勢壘的另外一邊，再變回普通粒子，看上去就跟沒有遇到障礙似的。即使在許多物理學家看來，量子電動力學里的這些預言看上去也是極度不合常理的。 現在，石墨烯中無質量的Dirac准粒子終於證實了這一預言。在石墨烯中，Klein佯謬所描述的現象很容易被觀察到。實驗測定的結果表明，對於單層的石墨烯試樣，入射角為0度、45度（不到些）和90度（不到些）時，透射率幾乎都為100%。進一步的觀察表明，電子在單層的石墨烯試樣中的行為表明其自旋為1/2，其結果是電子和空穴發生耦合。雙層的石墨烯試樣，當入射角為30度（不到些）和80度（不到些）時，透射率也幾乎達到100%。這表明石墨烯試樣中所有的電子都發生了相對論性的量子穿越隧道的效應，通過率為100%。現在，研究人員正在測量粒子通過不同高度的勢壘時產生的電流。物理學家還希望石墨烯能夠幫助他們證明量子電動力學預言的其他一些奇特現象。

下面再舉一個奇異量子Hall效應的例子。普通物理學課本中有一節專門論述美國物理學家Edwin Herbert Hall (1855 - 1938) 在研究電磁學時發現：當垂直於磁場的電流通過導體時，電荷載子由於受到Lorentz 力的作用而發生了偏轉，並進而產生電壓。這種現象稱之為Hall效應。

所謂量子Hall效應其實是Hall效應的量子力學版本：當載流導線垂直於磁場時，其橫向電導率會呈現量子化的數值。這種橫向電導率稱為Hall電導率，可以表示成為單位電導量子(單位電荷e的平方與Planck常數值h之比) 與Landau能級指標整數N的乘積。量子Hall效應又進一步分為整數量子Hall效應和分數量子Hall效應。整數量子Hall效應是由德國的Klaus von Klitzing發現，他因此得到1985年度的諾貝爾物理學獎；分數量子Hall效應由美國的崔琦、Robert Betts Laughlin以及德國的Horst Ludwig Störme共同發現，他們分享了1998年諾貝爾物理學獎。量子Hall效應只能在溫度極低(3K左右)和磁場極強的條件下，在非常純凈的硅或砷化鎵中才能觀察到。由於石墨烯的發現，可以在攝氏20度的常溫下觀察到量子Hall效應。此外石墨烯中測得的量子Hall效應與通常的表示式不同，還必須乘上一個4倍的因子。對此的解釋是石墨烯譜中出現了雙重勢谷，並且發生了雙重的自旋簡倂。對於單層的石墨烯試樣，量子電導的離散序列與通常的量子Hall效應結果比較，還相差一個1/2，也就是說其Hall電導率等於4(N+1/2)與單位電導量子的乘積。然而對於雙層的石墨烯試樣來說，就只是4N與單位電導量子的乘積。這個(1/2)整數倍的量子Hall效應的發現是石墨烯中存在狄拉克費米子的最直接證明。(在粒子物理學中，除了中微子以外，所有符合標準模型的費米子都是狄拉克費米子，它們可以用類Dirac方程來表示。這兒指的是石墨烯中的低能激化。)

第三個例子舉的是石墨烯中有限的最小電導率：它的每單位勢谷和每單位自旋的電導率達到一個電導量子(單位電荷e的平方與Planck常數值h之比) 的數量級。這對於石墨烯的潛在應用具有極其重大的意義，作為半導體材料可用於開發彈道式輸送的場致晶體管。眾所周知，當一個導體的尺度小於其電子平均自由程時，與一般導體中自由電子的擴散行為完全不同，電子的運行方式稱為彈道輸運(ballistic transport)。如果我們把導體縮小到電荷載體的Fermi波長(即與半導體中的Fermi能級相應的波長)的尺度，此時通過導體的載體不再是連續的、大量的，而是一個一個或者幾個幾個不連續的，從而導致了很多量子現象的出現。其中最為明顯的效應之一就是量子電導。石墨烯中每一個導電「通道」對總電導的貢獻僅為一個電導量子!打個比方來說，電荷載體從普通的晶體管一端走到另一端的過程中，就象群眾性的馬拉松參賽選手聽到號令槍響，爭先恐後地沖入劃為賽程的路口，不可避免地會發生互相碰撞甚至跌倒在地的混亂場面。電荷載體之間的碰撞就會發熱，結果是耗散能量。在彈道式輸送的場致晶體管中，電荷載體就象專業性的百米選手在分配到的跑道上賓士，各行其道，互不干擾。電荷載體在各自的「獨享」通道中輸送，使得能量耗散很低。這就為譬如量子點器件的設計提供了有效的途徑，可望對於未來的信息技術帶來革命性的影響。

此外，通過石墨烯還可以觀察到不少特殊的量子現象。Fermi能級附近的電子能級由連續態分裂成分立能級。當能級間距接近熱能、磁能、靜電能、靜磁能、光子能或超導態的凝聚能時，會出現一些特殊的量子效應，從而使其熱、磁、光、聲、電、超導電等性能發生令人矚目的變化。

《Nature》的編者在一篇按語中曾指出「石墨烯是凝聚態物理學和量子電動力學之間的新橋」。看來此話絕非過譽之辭。