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斷章師爺 卿本佳人，奈何從賊 - 數學家和物理學家Pascual Jordan其人其事(二)

作者：light12  於 2010-6-12 23:50 發表於 最熱鬧的華人社交網路--貝殼村

通用分類:網路文摘

關鍵詞：

 
時間: 09 6 2010 08:29   

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作者：斷章師爺 在 蘆笛自治區 發貼, 來自 海納百川


卿本佳人，奈何從賊 ---------- 數學家和物理學家Pascual Jordan其人其事(二)
斷章爺師

Pascual Jordan (1902-1980)出生於漢諾威一個西班牙和德國的混血家庭，祖上是西班牙南部 Alcoy 地區的貴族，其家族譜系可以追溯到公元9世紀。 Jorda 家族在反對拿破崙戰爭期間，效忠英國王室。惠靈頓戰勝拿破崙后， Jorda 家族被派駐德國漢諾威，他們的姓也由 Jorda 改為 Jordan。

P.Jordan從小就被送到最好的貴族子弟學校接受極其嚴格的培養和教育，打下了非常紮實的基礎。1921年他進入了漢諾威工業大學，選修了動物學、數學和物理學。1923年他轉學到哥丁根大學，先跟隨Richard Courant(1888-1972) 學習數學，後來轉入 M.Born 門下研究物理學。

年青的P.Jordan在物理學界迅速崛起，成為一顆異常耀眼的新星。

目下，一般的量子力學教科書都是著重介紹波動力學，然後再指出波動力學和矩陣力學在數學上是等價的。倘若我們回過頭來看看奠定矩陣力學的前述3篇論文，還是很有意思的。

無疑，這3篇文章中最關鍵的部分是M.Born和Pascual Jordan 共同署名的第2篇文章。 M.Born 坦陳「在用矩陣符號重複 W.Heisenberg 的計算結果時， 我立刻迫使自己相信非對角線元素唯一合理的取值是零。於是我寫下了那個奇怪的表示式（師爺按，即前述的對易關係：pq-qp = h/(2倍的圓周率乘以i)， M.Born 去世后和夫人 Hedwig 合葬在哥丁根的一個公墓里，與David Hilbert、Max Planck、Max von Laue 以及Walther Nernst 等人的墳塋相鄰。 M.Born 的墓碑十分簡單： 第一行是他的姓名；第二行是他的生卒日期；第三行就是對易關係。再下面是他夫人的姓名以及她的生卒年月日 ） 。但這僅僅是個猜測，我所做的全部證明都沒有成功。 」 在P.Jordan的幫助下，運用數學中的矩陣方法將 W.Heisenberg 的計算結果發展成了量子力學的系統理論。

他們的這篇文章共分四個部分。第一部分向物理學家介紹了矩陣代數的概念；第二部分建立了量子力學的基本假設；第三部分研究了非諧振子的能量譜系；第四部分介紹了電磁場的量子化過程。文章的精華在第二部分，也就是P.Jordan的主要貢獻。文中提出了5個基本的假設：

第（1）個假設是引入了位置p和動量q的矩陣，將之表示成「二維」的Fourier形式，強調指出式中的頻率是原子輻射的頻率而不是電子的頻率。

第（2）個假設是頻率的結合規律。指出諧振子的任何動力學矩陣（即位置p和動量q 的任何函數） 都具有相同的頻率。也就是說假定位置p和動量q矩陣中的元素nm 的振動頻率是300MHz 的話，那麽p和q的任何形式，譬如p的平方、q的立方或者它們的任何組合形式中矩陣的元素nm都將以300MHz 的頻率振動。

第（3）個假設是運動方程。利用Hamiltonian符號書寫的位置p和動量q的運動方程具有和經典力學完全一樣的表示式。

第（4）個假設是能量譜系。N.Bohr 的舊量子論中能量的量子化是硬性規定的。然而在矩陣中的數集，由於行和列的離散結構， 直接就得出了能量的量子化結果。

第（5）個假設是量子條件。P.Jordan利用位置p對於動量微分dq的環路積分，分別導出了p和q的Fourier展開式。再利用相關的變換，得出了量子條件的矩陣表示式。

不難看出，這5個假設構築了矩陣力學的基本框架。P.Jordan作出的貢獻自然也一目了然。此外，他們還在文中討論了不少內容，包括多自由度系統、Hermitian矩陣和它的特徵值、微擾法以及角動量等問題。

P.Jordan建立的矩陣力學與E.Schrödinger建立的波動力學在數學上是等價的。前者是經典力學中的Hamilton 形式（對易關係）在量子力學中的表述；後者則是Hamilton –Jacobian形式（波函數的指數表徵）在量子力學中的表述。除此之外，上世紀40年代由Richard Phillips Feynman ( 1918 – 1988) 開闢了第三條道路，通過路徑積分將經典力學中的Lagrangian形式引入了量子力學。

一般說來，人們比較喜歡使用直觀簡潔的波動力學，因為比較實用。但在研究有些問題時，矩陣力學具有必可替代的優越性。我以前在處理大分子材料的偏振性能時，探討加工過程中拉伸引起的纖維取向對於薄膜光學參數的影響，卻一直找不到合適的表徵關係。最後應用矩陣力學的結果，只需要一個十分簡單的積分算式就得出了偏振角度矩陣前面係數的取值範圍，與實驗結果符合得很好。

由於M. Born, W. Heisenberg和 P. Jordan以及E.Schrödinger等的工作，使得人們對於量子力學這門學科有了一個比較清楚的認識。經典力學處理的是低速宏觀物體的運動，量子力學處理的則是低速微觀物體的運動。

據說，David Hilbert見到P.Jordan的工作后說了句「將物理學留給物理學家，對他們來說顯然是太過困難了些。所以數學家仍然相信他們是上帝給科學的禮品。」 無疑，P. Jordan正是這樣一份精美的禮品。

1909年A.Einstein 在《關於我們對輻射的性質和構成觀念的發展》（Entwicklung unserer Anschauungen über das Wesen und die Konstitution der Strahlung，Physikalische Zeitschrift, 10, 817–825，1909） 一文中導出了充滿輻射黑體的箱子中的微小亞體積的均方能量漲落的表示式。該式由粒子和波2 項之和組成。他因此得出結論：適合光的理論必須由粒子理論和波動理論兩個方面結合而成。 此後不久，包括M.von Laue、M.Planck 、P.Ehrenfest 以及A.Einstein自己在內的不少大師都通過不同的途徑避開光量子的概念試圖導出這個表示式。

眾口一辭，其中最傑出的工作還是P.Jordan做的。從1925年到1928年中他一連發表了7篇論文討論這個問題。他將矩陣力學應用於一個波動系統，直接得到了A.Einstein 漲落表示式中的那2個項。P.Jordan進而指出這2 項並不一定要求一個分離過程，使得一個只含粒子，另一個只含波。 在矩陣力學中這2項可以從一個簡單的獨立運動學框架中得到。因為運算過程中出現的2個能量增量乘積的交叉項對於均方能量漲落的貢獻實際上已經複製了A.Einstein表示式中的粒子項。Max Planck認為P.Jordan的工作「通過經典的波動理論，不需要添加任何新的假設，自動得出了光量子波粒二象性的圖像。」W. Heisenberg在給W.Pauli的信中坦承「Jordan 聲稱他的計算直接得出了經典的結果和Einstein的粒子項。……我很抱歉，因為沒有足夠的統計力學知識，無法對他的工作進行具體的評估。但是我能預見到這種計算對於物理學的前景必然會產生的深遠影響。」A.Einstein本人評價P.Jordan所做的上述工作是「tricky but kosher」

1926年，義大利的E. Fermi發表了一篇關於單電子理想氣體的量子化的論文，介紹了他計算的服從Pauli不相容原理的粒子分佈規律。差不多同時，英國的P.Dirac在一篇關於量子力學理論的文章中也得出了和E.Fermi完全相同的計算結果。這種角動量的自旋量子數為半奇數的粒子現在稱為費米子(fermion) ，其分佈規律稱之為 Fermi-Dirac統計。其實，早在1925年P.Jordan 就計算出了這一結果，當時他把這種粒子稱為泡利子(paulion)，把計算結果稱之為Pauli統計。他把自己這篇手稿交給《德國物理學會會刊》的編輯M.Born，不巧的是後者當晚正好要去美國各大學做一次巡迴講座，他隨手把稿件撂在旅行手提箱里就啟程了。 M.Born 在美國耽了大半年光景，在這段時間裡， Fermi 和Dirac 的計算結果已經分別發表。然而，事實上P.Jordan 比他們至少早大半年就獨自得出了完全一樣的結果。

眾所周知，量子場理論（QFT，即Quantum field theory的縮寫）是量子力學和經典場論結合而成的一門學科，如今已經廣泛地應用於粒子物理學和凝聚態物理學中。回溯量子場理論的發軔，會湧現出一大堆輝煌的名字，包括P.Dirac、W.Pauli、V. A. Fock 、朝永振一郎、J.S.Schwinger 、 J. R. Oppenheimer 以及 R.Feynman 等人。可是絕對不應該忘記的是P.Jordan 對於這門學科做出的貢獻。

量子場論起源於上世紀20年代創立的電磁場的量子力學理論。正是M.Born 和P.Jordan 在1925年最早考慮這個問題的。翌年M.Born、W.Heisenberg和P.Jordan 通過將場的內部自由度表示成為諧振子的無限數集並且應用正則的量子化條件建立起了一種新的理論。1927年P.Jordan 將對場的正則量子化方法延伸到量子力學中的波函數，並將之稱為二次量子化。1928年P.Jordan 和W.Pauli證明場算符的對易關係是一個Lorentz不變數。同年P.Jordan 和Eugene Wigner還發現根據Pauli不相容原理，對於電子場的量子化要求採用反對易的生成算符和湮滅算符。可以方便地處理多粒子體系，對於以後發展的量子多體理論產生了極其重要的影響。根據J. R. Oppenheimer的回憶，1929年他在 Kharkiv（在如今的烏克蘭境內）舉行的理論物理會議上聽了Pascual Jordan 所做的「關於量子電動力學的現狀」的長篇發言后，啟發了他將相對論中的因果性關係應用到量子場論中，並且在V. A. Fock 的基礎上完成了這一工作。所以尊P.Jordan 為量子場論的奠基者絕不為過。

此外，P.Jordan 在數學上的貢獻也是一般物理學家難以企及的。抽象代數中有一個分支被稱之為Jordan代數。以他姓氏命名的數學名詞還有Jordan環、Jordan偶、Jordan三重體系和Jordan正則矩陣等。在數論和射影幾何中廣泛用到Jordan代數。

1979年，原籍匈牙利的猶太裔物理學家E.Wigner（1902-1995,1963年物理學諾獎獲得者，他也是P.Dirac的妻舅。）再次提名P.Jordan 為物理學諾獎候選人，結果還是沒有兌現。

（未完待續）
ZT

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