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(ZT) 小小衲 人類末日的數學解釋

作者：light12  於 2009-4-1 09:45 發表於 最熱鬧的華人社交網路--貝殼村

通用分類:其它日誌|已有9評論

    時間: 30 3 2009 02:05


首先聲明兩點：

1。受了木豬的指教，這篇沒敢灌水，寫得比較干，請讀者自帶飲料。

2。這說的只是一家之言。

北徙兄說：

「停滯將會是亂源。但「可持續性發展」也不過是鏡花水月。慾望無止，資源有限，怎麼能「可持續性發展」？最好的結果不過是高效率的利用能源，同時減少污染。但即便如此也做不到可持續。

在消費主義（熾熱的物慾）+科技（強力攫取自然能力）的背景下，談「可持續」就和說中國的政體要中西合壁，集精華於一身一樣，說說可以，實際是笑話。

以我之見，真要「可持續」，必然要有文明的升華，這談何容易。」

這話說的於我心甚有戚戚焉。

昨夜暴雨，今天午後風淡雲輕，小衲我依花傍柳，帶著兒子在前川走了一趟，心情甚好（風淡雲輕近午天，依花傍柳過前川，世人不識余心樂，將謂偷閑學少年。）。加人老兄給我扣上了阿遼沙（斯魔=small 阿列克西的昵稱）的帽子，我也不放在心上了。這就來談一談為什麼我覺得人類沒戲了。我盡量用非數學的日常語言。但是好在這裡來的大部分是理工科乾麵包，做一點簡單的數學還是沒有問題的。

上次在說天馬之道一瓣香，和老笛小笛三遺矢時，我曾提到了，生物的能量消耗率和它們的體重的3/4次方成正比。這個指數（3/4） 有很多重要意義，這裡只說和人類社會發展有關的兩點。

1．這個指數（3/4）小於1，所以，大的動物比小的動物利用能源的效率要高。尖鼠(shrew)是最小的哺乳動物，一般體重在5~10克左右。我們假設它的平均體重是7克，那麼一個70公斤重的人的體重就是尖鼠的一萬倍。 如果那個指數是1，也就是說，如果能量消耗率和體重呈線性關係，那麼人的能量消耗率就是尖鼠的一萬倍。但是，現在那個指數不是1，而是3/4，所以人的能量消耗率只有尖鼠的一千倍（一萬的3/4次方）。那麼人體的每一單位體重（比如說每一克肌肉）所消耗的能量，就比尖鼠的每一單位體重所消耗的能量，小十倍。（這很容易計算，人的能量消耗是鼠的一千倍，而體重是一萬倍，所以，每一單位體重的消耗，人就是鼠的十分之一。）

這意思就是，相對地來說（每一單位體重），越大的動物，所需要的能量越少。

2．生物的生長是由能量消耗率驅動的。用一點微分方程的知識就可以證明，由於這個能量消耗率和體重之間的指數（3/4）小於1，生物的生長必然是一個邏輯斯蒂曲線（見下圖）。也就是說，到了一定的階段，達到了成年的體重以後，生長就停止了。（當然也存在永不停止生長的動物，比如魚類，軟體動物，等等。這些生物，一輩子都在生長，永不停息，生命不已，生長不止。這有另外一套理論來解釋，這裡不論）。

From My Documents


從這個能量消耗率出發，幾十年間，生物學家們得到了一系列和生物體重呈冪律關係的量。比如，生物的壽命長短和體重的1/4次方成正比，心跳和呼吸頻率和體重的負1/4次方成正比，（By the way，這兩個的乘積，也就是一生中心跳的總數，和生物體重的0次方成正比。也就是說，大動物心跳得慢，但活得長，小動物心跳得快，但活得短，所以無論大小，一生的心跳總數都是一定的，都是15億次左右。你跳得快，就活得短，所以烏龜總是長命呢，海曼就早死了呢。美國人說, your number is up，是有道理的。）還有，毛細血管的總長度和體重的3/4次方成正比，肺膜的厚度和體重的0.05次方成正比，如此還有無數。光這方面的專著就有好幾本。

這是生物界，那麼人類社會，是個什麼情況呢？

幾年前，有人做了一項大規模研究。他們收集了德國，美國和中國將近400個不同規模的城市的多種數據（比如GDP，艾滋病患者人數，申請專利數目，加油站數目，電線的總長度，公路的面積，犯罪率等等）得到如下結論：

1．和生物一樣，人類社會同樣存在著這樣的次方關係。很多東西的數值都是和城市人口數目（也就是城市的體重）的若干次方成正比的。

2．他們把這些量，按指數（次方的大小）分成了三類。

一類是，指數等於一的。也就是說，這些量和人口數目成線性正比關係。比如說，家庭的數量。紐約比聖路易斯大20倍，那麼家庭的數量就是聖路易斯的20倍。 這些量都是一些很顯而易見的量, very trivial，沒有什麼意思。

第二類是，指數小於一的。比如，加油站的數目，電線的總長，公路的總面積。指數小於一，是個很重要的事情。指數小於一就是說，越大的城市，人均所需量就越低。就象我前面說的那個人和鼠的例子。在這些量上，越大的城市，效率就越高。

拿加油站數目為例，根據調查，加油站的數目和城市人口的0.77次方成正比。現在假設紐約有一萬個加油站（我也不知道有多少個，胡猜的），而人口數目是一千萬，這就是說紐約每一千人有一個加油站。而我們這個小城有10萬人口，人口是紐約的以百分之一，但是，因為0.77小於一，所以，加油站的數目不是紐約的一百分之一，而是34.6分之一，也就是說，有289家加油站，平均346個人就必須有一個加油站。

注意，這裡加油站的數目是我胡編的，（那個次方關係0.77是真的），但是也能看出，大城市裡較多人同用一個加油站，而小城市裡較少的人同用一個加油站。所以，城市越大，對資源的利用效率就越高。這個我前面舉的那個人和鼠的關係是一樣的。

所以，人們把這種量稱為與生物性質相同的量。這種量體現了人類社會有些事物是以經濟，節約為目的的，越大效率越高。這和生物的operation是相似的。

人類社會之所以是人類社會，在於第三類量。這些量和人口數目的指數是大於一的。比如，申請專利的數目，受到高等教育人口的數目，工資的總數，銀行儲蓄的總數，犯罪率，醫院的數目，艾滋病人的數目，等等等等。

這些量的指數大於一，意味著，越大的城市，人均數目越高。紐約市的人均醫院數目，人均專利發明數目，人均博士數目，人均犯罪率，都比我們這個小城要高。這兒就不作數學了，但是，用初二數學稍微想一下也能明白。

這些都是人類形成社會以後出現的事物，都是人類社會特有的東西，和生物體是相反的。這是什麼意思呢？這個意思就是，在這些事物的發展上，人類不是以效率，節約為目的，而是越多越好，越大越好，是一個正反饋。按有人的說法，這正體現了人類的貪婪，而這種貪婪造成了這種非線性的關係（指數是一的話，就是線性了）。

說了這麼半天，終於要說到北徙兄的正題上了。

北徙兄（他年紀比我小，見識比我高，所以我就以兄稱之。那個誰誰誰曾指責梁任公啟超先生「甘媚後生」，其實我倒不覺得什麼。我「媚」笛，「媚」徙，都是基於一個原則，誰漂亮（有內在美）我就媚誰，呵呵。By the way，梁啟超「媚」的是誰，我也想不起來了，知道的提醒一下）說的是人類社會的發展問題。

如果把城市比作一個大的有機生物體，那麼城市的發展和生物的成長都可以用同一種方程來描述。方程是一樣的，但是重要的指數關係卻不一樣。

生物的生長是由能量消耗率來驅動的(drive)，而能量消耗率和體重的3/4次方成正比。3/4小於一，所以，體重的增長曲線就是上面那個圖畫的，是一個有極限的增長，長到一定程度，就停了。

城市的發展是由 innovation and wealth （也就是發明和財富）驅動的（drive），而和發明與財富有關的事物的指數都是大於一的。所以，同一個微分方程，由於驅動量的指數大於一，得到的增長曲線，就是一個沒有極限的，而且是呈指數形的，越來越快的向上的曲線（如下圖）。

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從數學上，我們看到了貪婪造成的沒有極限的增長。如果發展沒有極限，這個曲線就會在一個特定時間達到一個無窮大的奇點(singularity)，然而資源是有限的，那麼也就是說發展就會導致崩潰。

但是，在人類歷史上，純粹由於這種發展帶來的崩潰並不多見，這是怎麼回事呢？

有人的解釋是：在發展的過程中，為了避免崩潰，人們必須在某一個時間點上產生一個 innovation。這種innovation 可以是某一項重要技術的發明（比如蒸汽機，電腦），也可以是一個重要資源的發現（石油，核能），或者是某一種革命。這個innovation的作用就是在發展曲線上，重新設定初始條件，改變方程的某些係數（見下圖）。這樣一來，本來要走向崩潰的發展（圖中的紅色虛線）被重新設定了，變成了圖中的紅色實線。

From My Documents


從圖中我們看到，雖然發展還是沒有極限的，但是達到崩潰的時間卻被退後了。收集到的真實數據也定性的支持這個模型。比如，紐約市人口的發展，在過去的一百多年中確實是呈這種形狀。

從數學上和現實數據來看，技術革命，新能源，能夠拖延崩潰的時間。但是從上面那個圖中，我們也能看到，新的innovation所必須發明出來的時間也越來越短。這個時間（也就是圖中黑色虛線的間隔）是可以從方程里算出來的。這個時間越來越短，過去，幾百年才需要有一個innovation來重新設定曲線，現在需要幾十年，將來，需要在幾年之間就產生一個新的 innovation，而且這個要求會越來越快。

技術的發展確實是越來越快了。蒸汽機代替人力用了上千年，而蘆老上網療愚在30年前還是不可想象的事情。15年前，有個中文漢顯就足可誇耀人前，而現在的孩子連手機曾經重得像塊磚頭都不知道了。

這個時間，從系統的本質要求上來說，它必須越來越短（可以從數學上定性地證明）。人類目前還跟得上這個要求。但是，總有一天，這個時間會變成無窮小，趨於零。那個時候，就是人類的末日了。

怎麼辦？ 北兄說了：「以我之見，真要「可持續」，必然要有文明的升華」。

這個文明的升華，就我理解，不是新的 innovation，不是去重新設定發展曲線的初始條件和係數。而是連整個曲線的形狀都改變，整個方程的性質都改變。

比如說，把貪婪的，外向的，征服的金毛文明，改進成節約的，內斂的，謙遜的凝脂文明。這在數學上來說，就是把那個指數由大於一改成小於一，或者至少減小指數的數值。

我曾經想過收集亞洲「後進民族的」歷史上的數據，作一個類似的研究。看看在這些「後進民族」的歷史上，那些指數現在大於一的量會不會曾經有小於一的指數。但是後來因為「後進民族」的古人不懂天馬之道，從來不知收集定量的數據，而作罷。

但是，從另一個角度想，蘆老說的是對的：我們的節約的，內斂的，謙遜的文明，是一個停滯的文明。從數學上看也確是如此：如果指數小於一，發展曲線就會變成邏輯斯蒂曲線（如第一個圖），也就是說，發展到了某一點上就會停止。在生物上，就是生物達到了成年年齡，我猜在中華文明發展史上，就是到了唐朝了。

所以，這個新文明是什麼，我不知道，新曲線，新方程是什麼，我也不知道。

也許，人類由發展帶來的崩潰是不可避免的。

行文至此，不由嘆道：教人焉得不信神。

最後，我還要再強調一點：這個增長模型只是一個學派的一家之言。而且，它雖然有很多數據支持，但是總是不夠定量化。

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發表評論 評論 (9 個評論)

回復 Mythologist 2009-4-1 09:49
仔細琢磨琢磨去。
回復 tinydancer 2009-4-1 10:12
天啊，我暈了
回復 light12 2009-4-1 10:20
tinydancer: 天啊，我暈了
這傢伙是FLG， 我的對頭。他學養不錯.
回復 tinydancer 2009-4-1 10:23
light12: 這傢伙是FLG， 我的對頭。他學養不錯.
I got totally lost
回復 light12 2009-4-1 10:24
tinydancer: I got totally lost
Why?
回復 tinydancer 2009-4-1 10:26
light12: Why?
寫得複雜。。。
回復 light12 2009-4-1 10:29
tinydancer: 寫得複雜。。。
不會吧？老師。
回復 tinydancer 2009-4-1 10:57
light12: 不會吧？老師。
又擠兌我？！
回復 light12 2009-4-1 11:03
tinydancer: 又擠兌我？！
正在轉帖另外相關的。其實我自己也看不懂.

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