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「悖論」（paradox）一詞常見諸報端，其字面意思為「荒謬的理論或自相矛盾的話」。從邏輯上看，悖論性的語句具有這樣的特徵：如果假定這個語句為真，那麼會推出這個語句為假；反之，如果假定這個語句為假，又會推出這個語句為真。說它對也不是，不對也不是，真是左右為難。
語義學悖論舉例
悖論古已有之。一般認為，最早的悖論是古希臘的「說謊者悖論」。《新約全書·提多書》是這樣記述的：
克里特人中的一個本地先知說：「克里特人總是撒謊，乃是惡獸，又饞又懶。」這個見證是真的。
這個克里特島的「先知」是伊壁孟尼德（Epimenides）。後來歐布里德（Eubulides）將他的話改進為：
我正在說謊。
這句話是真的，還是假的？如果是句真話，由這句話的內容可知：說話者正在撒謊，既然是撒謊，那麼說的是假話；反之，如果這句話是假的，說假話就是說謊，這句話的內容正是「我正在說謊」，因此這句話又是真的。
後來又發現了好幾種「說謊者悖論」的變種，例如所謂「說謊者循環」：
A說：「下面是句謊話。」
B說：「上面是句真話。」
「說謊者悖論」和「說謊者循環」是與自然語言的表達方式密切相關的悖論，涉及真假、定義、名稱、意義等語義方面的概念，這類悖論被稱為「語義學悖論」。語義學悖論的實例很多，「格列林（K.Grelling）-納爾遜（L.Nelson）悖論」就饒有趣味，它與形容詞的應用有關：
將形容詞分為兩類，一類稱為「自謂的」，即可對於它們自身成立、對自己為真的。例如，形容詞「Polysyllabic（多音節的）」本身是多音節的，「English（英文的）」本身是英文的，它們都是自謂的。另一類稱為「它謂的」，即對於它們自身不成立、對自己不真的。例如，形容詞「Monosyllabic（單音節的）」是它謂的，因為這個詞不是一個單音節詞；「英文的」也是它謂的，因為這個詞是中文的而不是英文的。問題來了：形容詞「它謂的」是不是它謂的？
得到的結果是：如果「它謂的」是它謂的，那麼會推出「它謂的」不是它謂的，反之亦然。導致了自相矛盾。
集合論悖論與公理化
另一類悖論涉及數學中的集合論，被稱為「數學悖論」或「集合論悖論」。集合論是19世紀70-80年代由德國數學家康托爾創立，它建立在一種無限觀——「實無限」的基礎上。所謂「實無限」，即把「無限」作為一個已經完成了的觀念實體來看待。例如，在集合論中用N={n：n是自然數}表示全體自然數的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的幾千年數學發展史中，佔主導地位的是另一種無限觀，即古希臘哲學家亞里士多德所主張的「潛無限」觀念。所謂「潛無限」，是把「無限」作為一個不斷發展著的、又永遠無法完成的過程來看待。例如，把自然數看成一個不斷延伸的無窮無盡的序列1，2，3，…，n，…就是如此。
集合論是數學觀念和數學方法上的一次革命性變革，由於它在解釋舊的數學理論和發展新的數學理論方面都極為方便，因而逐漸為許多數學家所接受。然而，在康托爾創立集合論不久，他自己就發現了問題，這就是1899年的「康托爾悖論」，亦稱「最大基數悖論」。與此同時，還發現了其他集合論悖論，最著名的是1901年的「羅素悖論」：
把集合分成兩類，凡是不以自身作為元素的集合稱為正常集，（例如，自然數集N本身不是一個自然數，因此N是正常集。）凡是以自身作為元素的集合稱為異常集。（例如，所有的非生物的集合F並非生物，因此F是異常集。）每個集合或者為正常集或者為異常集。設V為全體正常集所組成的集合，即V={x：x?埸x}，那麼V是不是正常集？
如果V是正常集，由正常集的定義知V?埸V，又因V是全體正常集的集合，所以正常集V∈V，但這說明V不是正常集，是異常集；反之，如果V不是正常集，是異常集，那麼由異常集的定義知V∈V，這說明V是全體正常集組成的集合V的元素，因而V又應該是正常集。
羅素悖論揭示了一個嚴酷的事實：集合論是隱含著邏輯矛盾的，如果把數學建立在集合論的基礎之上，將會使數學大廈從根基上產生深深的裂痕，這種裂痕甚至有可能使整座大廈傾覆。一石激起千層浪，一場關於數學基礎問題的論戰爆發了。
在這場論戰中，最為激進的是以荷蘭數學家布勞威爾為代表的直覺主義學派，他們對集合論採取了全盤否定的態度，並認為「實無限」的觀念是集合論悖論產生的根源。與此相反，另一些數學家走上了改良的道路，他們試圖亡羊補牢，對集合論加以適當的修正，以避免悖論。這方面的代表性成果是公理集合論，它已成為現代數學的一個重要分支。公理集合論採用公理化的方法來刻畫集合和集合的運算，並對康托爾集合論中的「概括原則」作了修正。概括原則可表述為：滿足性質P的所有對象可以組成一個集合S，即S={x：P（x）}，其中的P（x）意為「x具有性質P」。這就認定了任何性質可以決定一個集合，於是前述的F 和V名正言順地成了集合，悖論也應運而生。
在公理集合論的ZF系統中，用如下的「分離原則」取代了概括原則：若C是一個集合，則C中滿足性質P的那些元素構成一個集合S={x：x∈C且 P（x）}，即在C是集合的前提下，任何性質可以決定它的一個子集。公理化的結果是：只有正常集才能成為集合，異常集則不能，F和V都不是集合，羅素悖論和其他的集合論悖論得以避免。
就公理集合論能避免已有的集合論悖論，並在此基礎上可以進一步發展數學而言，它是成功的。遺憾的是，人們並不能證明公理集合論系統的相容性，即不能證明系統中一定不會推出邏輯矛盾。此外，現代數學中的某些結果需要使用「選擇公理」，但這又將導致某些違背人們直覺的怪論（例如「分球怪論」）。因此，公理集合論的處理方式，尤其是選擇公理的使用，仍有進一步討論的必要。
對悖論的一些深入探討
羅素悖論的發現，也促進了對於悖論（包括語義學悖論）成因的深入思考。1905—1906年間，龐加萊在《數學與邏輯》一文中提出了悖論的根源在於「非直謂定義」的論斷。所謂非直謂定義是指：藉助於一個總體來定義一個概念（或對象），而這個概念（或對象）本身又屬於這個總體。這種定義是循環的（羅素稱為「惡性循環」），或者說是「自我涉及」的。例如，異常集「所有的非生物的集合F 」就是如此。因為，F是藉助於「所有的非生物」這一總體來定義的，而F本身又是這一總體中的一員。考察語義學悖論，也會發現類似的「循環」或「自我涉及」的蹤跡。例如，「說謊者循環」就是A，B兩個人的話彼此循環，而格列林-納爾遜悖論中的「自謂的」和「它謂的」定義，則涉及了形容詞對於自身的真假。
1931年，塔爾斯基（A.Tarski）在《形式化語言中的真概念》一文中，提出了「語言層次」的理論。雖然這一理論主要是針對形式語言的，但對於日常語言中的語義悖論研究也有重要意義。塔爾斯基認為，日常語言在語義上是封閉的：既包含了語言表達式，又包含了陳述這些語言表達式語義性質（例如「真」、「假」）的語句。這是語義悖論產生的根源。要建立實質上適當、形式上正確的關於「真句子」的定義，就必須對語言進行分層處理：被談論的語句屬於某一層次的語言（稱為「對象語言」），而陳述該語句語義性質的語句則屬於高一層次的語言（稱為「元語言」）。「說謊者悖論」就是因為斷言了自身的真假，混淆了語言的層次而造成的。
1975年，當代著名邏輯學家克里普克（S.A.Kripke）在《真理論綱要》一文中提出了解決悖論的新方案。其中的一個核心概念是「有根性」：要判斷一個含有真值謂詞（「真」或「假」）的語句，必須尋找這個語句的「根」——相應的不含真值謂詞的語句。例如，要判斷「『凈水是無色透明的』是真的」這句話的真假，就要看「凈水是無色透明的」這句話對不對，后一句話不包含真值謂詞，並且它的對錯是可以判斷的，因此，前一句話是有根的。只有有根的語句才可以判斷其真假，無根的語句則不行。「說謊者悖論」和「說謊者循環」都是無根的，這是悖論的基本特徵。
新近的悖論研究受到了「情景語義學」的影響，語言邏輯學家注意到：許多語義悖論實際上不僅僅涉及語義，也與說話時的語境（包括語言使用者）等語用因素密切相關。以「說謊者悖論」為例，當某人說「我正在說謊」時，這意味著他在某種語境中表達這句話為真的斷言。但是，「『我正在說謊』是假的」這一語句，卻不能在同樣的語境中陳述，陳述它的是另一種語境。因此，悖論的根源不在於「自我涉及」，而是因為不同的語境。只要分清每一句話的語境，許多所謂的「悖論」就不再是真正的悖論了。
語義學悖論舉例
悖論古已有之。一般認為，最早的悖論是古希臘的「說謊者悖論」。《新約全書·提多書》是這樣記述的：
克里特人中的一個本地先知說：「克里特人總是撒謊，乃是惡獸，又饞又懶。」這個見證是真的。
這個克里特島的「先知」是伊壁孟尼德（Epimenides）。後來歐布里德（Eubulides）將他的話改進為：
我正在說謊。
這句話是真的，還是假的？如果是句真話，由這句話的內容可知：說話者正在撒謊，既然是撒謊，那麼說的是假話；反之，如果這句話是假的，說假話就是說謊，這句話的內容正是「我正在說謊」，因此這句話又是真的。
後來又發現了好幾種「說謊者悖論」的變種，例如所謂「說謊者循環」：
A說：「下面是句謊話。」
B說：「上面是句真話。」
「說謊者悖論」和「說謊者循環」是與自然語言的表達方式密切相關的悖論，涉及真假、定義、名稱、意義等語義方面的概念，這類悖論被稱為「語義學悖論」。語義學悖論的實例很多，「格列林（K.Grelling）-納爾遜（L.Nelson）悖論」就饒有趣味，它與形容詞的應用有關：
將形容詞分為兩類，一類稱為「自謂的」，即可對於它們自身成立、對自己為真的。例如，形容詞「Polysyllabic（多音節的）」本身是多音節的，「English（英文的）」本身是英文的，它們都是自謂的。另一類稱為「它謂的」，即對於它們自身不成立、對自己不真的。例如，形容詞「Monosyllabic（單音節的）」是它謂的，因為這個詞不是一個單音節詞；「英文的」也是它謂的，因為這個詞是中文的而不是英文的。問題來了：形容詞「它謂的」是不是它謂的？
得到的結果是：如果「它謂的」是它謂的，那麼會推出「它謂的」不是它謂的，反之亦然。導致了自相矛盾。
集合論悖論與公理化
另一類悖論涉及數學中的集合論，被稱為「數學悖論」或「集合論悖論」。集合論是19世紀70-80年代由德國數學家康托爾創立，它建立在一種無限觀——「實無限」的基礎上。所謂「實無限」，即把「無限」作為一個已經完成了的觀念實體來看待。例如，在集合論中用N={n：n是自然數}表示全體自然數的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的幾千年數學發展史中，佔主導地位的是另一種無限觀，即古希臘哲學家亞里士多德所主張的「潛無限」觀念。所謂「潛無限」，是把「無限」作為一個不斷發展著的、又永遠無法完成的過程來看待。例如，把自然數看成一個不斷延伸的無窮無盡的序列1，2，3，…，n，…就是如此。
集合論是數學觀念和數學方法上的一次革命性變革，由於它在解釋舊的數學理論和發展新的數學理論方面都極為方便，因而逐漸為許多數學家所接受。然而，在康托爾創立集合論不久，他自己就發現了問題，這就是1899年的「康托爾悖論」，亦稱「最大基數悖論」。與此同時，還發現了其他集合論悖論，最著名的是1901年的「羅素悖論」：
把集合分成兩類，凡是不以自身作為元素的集合稱為正常集，（例如，自然數集N本身不是一個自然數，因此N是正常集。）凡是以自身作為元素的集合稱為異常集。（例如，所有的非生物的集合F並非生物，因此F是異常集。）每個集合或者為正常集或者為異常集。設V為全體正常集所組成的集合，即V={x：x?埸x}，那麼V是不是正常集？
如果V是正常集，由正常集的定義知V?埸V，又因V是全體正常集的集合，所以正常集V∈V，但這說明V不是正常集，是異常集；反之，如果V不是正常集，是異常集，那麼由異常集的定義知V∈V，這說明V是全體正常集組成的集合V的元素，因而V又應該是正常集。
羅素悖論揭示了一個嚴酷的事實：集合論是隱含著邏輯矛盾的，如果把數學建立在集合論的基礎之上，將會使數學大廈從根基上產生深深的裂痕，這種裂痕甚至有可能使整座大廈傾覆。一石激起千層浪，一場關於數學基礎問題的論戰爆發了。
在這場論戰中，最為激進的是以荷蘭數學家布勞威爾為代表的直覺主義學派，他們對集合論採取了全盤否定的態度，並認為「實無限」的觀念是集合論悖論產生的根源。與此相反，另一些數學家走上了改良的道路，他們試圖亡羊補牢，對集合論加以適當的修正，以避免悖論。這方面的代表性成果是公理集合論，它已成為現代數學的一個重要分支。公理集合論採用公理化的方法來刻畫集合和集合的運算，並對康托爾集合論中的「概括原則」作了修正。概括原則可表述為：滿足性質P的所有對象可以組成一個集合S，即S={x：P（x）}，其中的P（x）意為「x具有性質P」。這就認定了任何性質可以決定一個集合，於是前述的F 和V名正言順地成了集合，悖論也應運而生。
在公理集合論的ZF系統中，用如下的「分離原則」取代了概括原則：若C是一個集合，則C中滿足性質P的那些元素構成一個集合S={x：x∈C且 P（x）}，即在C是集合的前提下，任何性質可以決定它的一個子集。公理化的結果是：只有正常集才能成為集合，異常集則不能，F和V都不是集合，羅素悖論和其他的集合論悖論得以避免。
就公理集合論能避免已有的集合論悖論，並在此基礎上可以進一步發展數學而言，它是成功的。遺憾的是，人們並不能證明公理集合論系統的相容性，即不能證明系統中一定不會推出邏輯矛盾。此外，現代數學中的某些結果需要使用「選擇公理」，但這又將導致某些違背人們直覺的怪論（例如「分球怪論」）。因此，公理集合論的處理方式，尤其是選擇公理的使用，仍有進一步討論的必要。
對悖論的一些深入探討
羅素悖論的發現，也促進了對於悖論（包括語義學悖論）成因的深入思考。1905—1906年間，龐加萊在《數學與邏輯》一文中提出了悖論的根源在於「非直謂定義」的論斷。所謂非直謂定義是指：藉助於一個總體來定義一個概念（或對象），而這個概念（或對象）本身又屬於這個總體。這種定義是循環的（羅素稱為「惡性循環」），或者說是「自我涉及」的。例如，異常集「所有的非生物的集合F 」就是如此。因為，F是藉助於「所有的非生物」這一總體來定義的，而F本身又是這一總體中的一員。考察語義學悖論，也會發現類似的「循環」或「自我涉及」的蹤跡。例如，「說謊者循環」就是A，B兩個人的話彼此循環，而格列林-納爾遜悖論中的「自謂的」和「它謂的」定義，則涉及了形容詞對於自身的真假。
1931年，塔爾斯基（A.Tarski）在《形式化語言中的真概念》一文中，提出了「語言層次」的理論。雖然這一理論主要是針對形式語言的，但對於日常語言中的語義悖論研究也有重要意義。塔爾斯基認為，日常語言在語義上是封閉的：既包含了語言表達式，又包含了陳述這些語言表達式語義性質（例如「真」、「假」）的語句。這是語義悖論產生的根源。要建立實質上適當、形式上正確的關於「真句子」的定義，就必須對語言進行分層處理：被談論的語句屬於某一層次的語言（稱為「對象語言」），而陳述該語句語義性質的語句則屬於高一層次的語言（稱為「元語言」）。「說謊者悖論」就是因為斷言了自身的真假，混淆了語言的層次而造成的。
1975年，當代著名邏輯學家克里普克（S.A.Kripke）在《真理論綱要》一文中提出了解決悖論的新方案。其中的一個核心概念是「有根性」：要判斷一個含有真值謂詞（「真」或「假」）的語句，必須尋找這個語句的「根」——相應的不含真值謂詞的語句。例如，要判斷「『凈水是無色透明的』是真的」這句話的真假，就要看「凈水是無色透明的」這句話對不對，后一句話不包含真值謂詞，並且它的對錯是可以判斷的，因此，前一句話是有根的。只有有根的語句才可以判斷其真假，無根的語句則不行。「說謊者悖論」和「說謊者循環」都是無根的，這是悖論的基本特徵。
新近的悖論研究受到了「情景語義學」的影響，語言邏輯學家注意到：許多語義悖論實際上不僅僅涉及語義，也與說話時的語境（包括語言使用者）等語用因素密切相關。以「說謊者悖論」為例，當某人說「我正在說謊」時，這意味著他在某種語境中表達這句話為真的斷言。但是，「『我正在說謊』是假的」這一語句，卻不能在同樣的語境中陳述，陳述它的是另一種語境。因此，悖論的根源不在於「自我涉及」，而是因為不同的語境。只要分清每一句話的語境，許多所謂的「悖論」就不再是真正的悖論了。
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