cstar

https://big5.backchina.com/?99259

閑論Atiyah-Singer指標定理

作者：cstar 於 2009-9-10 13:48 發表於最熱鬧的華人社交網路--貝殼村

通用分類:其它日誌

由polik寫於2008/02

閑論Atiyah-Singer指標定理

Nowadays, mathematicians tend to over-abstract things that in fact cannot be further abstracted, which not only dilutes the essence of concepts but also drives away potential students and users, and eventually, if this pathological mood is not cured, will make a lot of mathematicians breadless. ---------Vladimir Igorevich Arnold

開場白

余觀天下學數眾才，體察愈久，遺憾益多。開始決定獻身數學時，大家都是聰明、愉快、可愛、活潑的，也是被別人視為天賦才俊。但是隨著時間推進，一些人開始變愚蠢了，一些人開始變苦悶了，一些人開始變得令人討厭了，一些人開始變古怪了，一些人變虛弱了。更過一些時間，一些人已經是白痴了，一些人已經自殺了，一些人已經是罪犯了，一些人已經是瘋子了，一些人累死了。現在走在這條路上的或朝這條路上走的仍然是千千萬萬，各種悲劇天天發生。身是獻了，但白獻了。還搭上翹首期望的家人親友以及一些無辜的關連者。

萬幸偶有小成大成者，卻同時也惹出一堆冤家對頭，傾扎之慘烈，不亞於黑幫火併。暫時勝者擔心報復，除時時努力固守城池以外，也終日疑神疑鬼，久而變態失常，最終眾叛親離者絕非鮮見；一時敗者則卧薪嘗膽，時時司機反撲，報得一箭之仇，然現實常常是仇難報，氣難消，遂焦躁不安，怨天尤人，久而變得古怪，抑鬱，甚至崩潰。

為何開始看起來的一樁好事會變得這樣慘呢？主要是態度不對。古人練功修行講的德字主要是就是講態度要正確。現在很多人，由首先喜歡數學崇拜數學變成拿數學當商品工具謀名獲利，並以所得多少作為衡量成功與否的標誌，多數人因此走入歧途是必然的。正確的態度是你玩數學或你與數學玩。以玩得開心為最高宗旨。既不要想通過學數學抱得美人歸，住進黃金屋，做得人上人，也不要想去光宗耀祖，恩澤鄉里，更不要想去當所謂英雄為民族爭光，報效國家，這些人充其量也就是被權貴玩來擺去的寵物狗。如果一開始就是以正確的態度學數言數，玩數之人就會永遠保持聰明、愉快、可愛、活潑。如果是這樣，我們看到的數學文章著作也決不是現在這樣以狗狗互相威聶的方式寫成聲明書。

本文題頭引用的數學物理大師也是教育大師Arnold的話，反映本人對數學（物理）界悲劇的另一些觀察是也沒有錯誤的。數學生到大二左右，就開始幻想脫離俗家塵世，進入不食人間煙火的狀態。先是與"土得掉渣，難以啟齒"的具體數字和圖形決裂，然後是大膽拋棄"半土不洋，膚淺得很"的運算和公式，匆匆穿上光鮮的水貨衣服（半懂不懂的外文書），擦上廉價的胭脂（網上抄來的作業），配上借來的首飾（一知半解的老師講義），端著身子急急溶入"豪華典雅，宛如仙境"的各種抽象定義引理定理建構的"上流社會"。但是，正如Arnold指出的，不必要的抽象不但害人，終將害己。與學武功的人類比，過分抽象等於過份強調虛力、意志和策略而忽視實力、環境和具體的戰術，好多從數之人走向悲劇，不光做不出數學成果，最終連一份謀生的差事都做不來，重蹈邯鄲學步覆轍，實屬自取其果，如果一開始就加以注意，完全可以避免。

鑒於上面幾點，本文的第一個主要目的當然是要向外行以草包大眾喜聞樂見的方式介紹一些常人望而生畏的著名數學難題，作點破除迷信，奚落權威的事。舊時艱澀書中物，進入平常百姓心，翰林神道華山劍，屠狗之輩亦善玩。既向有數學興趣的人展示絕大多數的抽象是不必要的害人之物，另外也順便將一些所謂的"高度抽象"概念之唬人外表揭穿──世上無神鬼，都是人炒起也，跟著抽象起鬨的數學家中真正懂得實質的人並不多，與江湖郎中一樣。本文另一個主要目的之一是（向數學家們或數學家們to be）示範如何以正確態度學數學，如何以正確態度講數學。看看我如何講數學，如何理解數學，希望給學數同道樹個榜樣。希望你們讀完此文以後，不光是具體知識增長了，學數教數的態度也變得積極正面一些，個人生活變得快樂一些，減少悲劇的發生。
（幾個葷笑話有些長.........）
（某些）微分方程的解（的數目）由定義該微分方程的空間的幾何拓撲特徵全部決定。或更簡單地講，一個空間中某些行為好的微分方程的解的數目是一個拓撲不變數。
列位看官已經知道AS不光不神秘，簡直就是BS。這時，恐有人跳將出來，大呼"褻瀆褻瀆！"，"淺薄淺薄！"，"狂妄狂妄！"。
在下今天不光要說，AS的表達一點不難，還要說它的證明也不難。一不做，二不休，堅持淺薄不動搖，將褻瀆進行到底，狂妄後面乾脆再麻煩您加上透頂二字！

尊重江湖規矩，用黑話表達AS：
記纖維叢E(F,M,π,G）的截面s(E,F) 與s(E,F＇)間映射D，則其解析指標，即其零頻解的數目dim ker D - dim coker D等於其拓撲指標
Topo_Ind (D) = Int_
其中I_M是微分形式，由在其上面定義方程的流形M的曲率所確定，項ch(σ)為得自方程的象徵的微分形式,int代表積分。或者用另一種更明確的表達式：
Topo_Ind(D) = (-1)^n < ch (s(D)) ~ td (TCM) , [m] >
其中n是流形M的維度，s(D)是微分運算元D的像征，ch 代表陳特徵，TCM 是流形M的復化切叢，td 代表Todd類，~ 是上積或杯積，[m]是流形M的基本類 , <-,-> 是Kronecker配對。
如有人在此受到驚嚇或憤怒，則正好達到了本人目的。但請列位看官莫要驚慌，更不要埋怨，且等在下花上三言兩語，上面那些黑話撩起的迷霧必會頃刻消散。數學江湖以艱澀隱晦為榮尊，化簡為繁，變淺為深，是為至高皈依，誰將一件最簡單的事說得最複雜以致普天下無人能懂，則可被崇為天宗。想當初，高斯常常宣布一些驚人結果而又不給出證明，遂得王子頭銜。羅素寫出<<數學原理>>兩本天書，無人能讀，被奉成數學之神。格羅騰迪克出版<<代數幾何基礎>>洋洋萬頁，頁頁難過天書，令所有數學家無地自容，立得數學之無極大王稱號（他老人家面對如此榮耀一時竟受不了，從此精神崩潰，家破人亡。阿彌陀佛！）。一時間，大小玩數者，競相仿效，環顧數國，一片烏煙瘴氣。可憐天下百姓聞數喪膽，唯恐避之不及。在下深知眾生歷受大小數霸之欺何其苦也，故尊天意反其道而行之，以簡為尊，以易為榮，以最平白文字講述最深刻真理而不失嚴謹，解放天下數殘理痴。將數學貴族才能享受的佳肴美酒搬上平民百姓的飯桌，是為吾宗。

先容在下將一些唬我看官的名詞表列出來以便一一馴服，記有
1. 映射
核，余核，伴隨運算元，橢圓運算元，Fredholm 運算元，象徵
2. 纖維叢
纖維，截面，結構群，切叢
3. 微分形式
（上）同調類
4. 特徵類
陳類
Todd類
基本類
杯積
Kroneker 配對
5. K群，範疇

也就是四、五組十來個術語。平常這些玩意個個如凶神惡煞，動不動要佔上專著數部，洋洋逾千頁，一般學子幾年苦修方得一知半解，雲里霧裡。今天諸君只要瀏覽三五頁版面約幾支香功夫即可大體完成，唯一要求是心中反覆默念本師之名，直至開悟。

這些概念今天肯定講不完，但不要急，我們今天會見到一個真正的指標定理。

映射是最基本也是最抽象的數學操作之一，將兩個集合的元素關連起來。我們不妨叫第一個集合叫原物（妻集），映射到第二個集合里生成的集體叫像（夫集）。數學家男的多，因此，多（妻）對一（夫）是可能的，但一（妻）對多（夫）是絕對禁止的。

如果物國里每個女人都有（一個）僅屬於自己的男人作丈夫，即女人不共夫，則是一（妻）對一（夫），即所謂的一一映射（注意這個名詞只講一妻必有一夫，但並不暗含每夫必有一妻，要看老婆夠不夠多）。如果像國里每個男人都有（至少一個）老婆，男人當然滿意，故稱滿射。如果既是滿射又是一一映射的話，那就是烏托邦里的一夫一妻制，一妻必有一夫，一妻僅有一夫，荊倌互忠，既不共夫亦不共妻，即所謂的雙射，或許雙雙滿意？

能夠建立雙射映射的兩個集合，在抽象意義下，物像沒有區分，誰為物，誰為像，見仁見智，公婆不分，故名同構。還有變態的自映射，鏡中人是你，你也是鏡中人，這個後面還要提的。

函數是映射的最簡單例子。運算元是稍微"高級"一點的映射。
如果映射將一個集合的一些元素全部映射到"單位"元素（加法的零或乘法的一），則這些元素形成一個叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被單獨列出，歸根到底還是因為像集合里的"單位"元素獨特。他跟本集合內任何一個元素作用（例如相乘）還是該元素本身。因此核內任何一個元素與本集合內任何非核元素相乘所得結果必在核外，否則他會被映到單位素。原來ker乃初中之國，獨立王國是也。因此，每一個核外元素與全體核內元素可以產生一共同類，是為等價類。可以通過與核內元素建立關連的元素屬於同一等價類。由此立得不同等價類的元素必不相同。整個集合就可以按等價類拆分，因而集合元素是核內元素之整數倍。

顯然，同一個集合的核是可變的因為核與映射有關。改變映射，核的元素會變。

這個核，隨集合對應物改變而有很多別名，正則子空間，理想，不變子空間，正則子群，不變子群等等，看官且留意他們是親姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空間（商空間）即為原空間對某個（正則）子空間取商的結果。

集合到本身的映射，即自映射，有一個特例：他給出兩個元素經過映射成另一個元素，凡夫俗子稱這種映射為運算，加減乘除之類。配有乘法的集合叫群，配有乘法（半群─即沒有相應的除法）和加法（群）的叫環，若進一步配有加乘皆為群（即有加減乘除）的集合叫體（或域）。（比較怪異的運算是所謂求模運算以及交換運算。因此，還有一些特別的集合如模空間，配有交換關係一個集合的叫一個代數。）

群這個字值得稍微多花一點筆墨。他是只配有一種運算（乘法）的集合，因而最簡單，研究得最徹底，但應用也最廣。數霸喜歡談抽象群，就是只談元素和乘法，而我們數學貧民喜歡知道具體的元素是啥，乘法到底是怎樣做的。把元素和乘法具體化，抽象群就會靈魂附體，現出原形，即所謂的群表示。具體化需要一個場所，即表示空間。我講一下，"表示"這個詞是誤用，"表演"才反映真意。但現在沒辦法改了。

我們看一個三正角形的對稱性。表演空間是我們通常的二維歐氏空間，元素就是轉動，相乘就是兩個轉動接續進行。穿越三角形重心與三角形平面垂直的軸為轉動軸。轉120度，240度都會回到原樣。可見正三角形的對稱群的三個元素表現為：不動（單位素），轉120度，轉240度。如果將二維空間寫成二維向量空間，上述三個轉動可以用矩陣表現出來，即三個特殊的轉動矩陣。這種元素數目有限的群叫有限群。將群元素當作空間的一點，群本身又成為一個空間。正三角形的對稱群空間為三個點（位於圓周上）形成的離散空間。

顯然可以有無限群，甚至還有連續群。假如將上述正三角形換成圓盤，轉動群就變成連續群了，可以用角度做參數化，用離散化的李代數表示。此時群空間（整個圓周）也是連續的。

群可以用元素加上"乘法或操作"構成，此處"乘法/操作"是廣義的二元運算，這個剛才講了，其實此處"元素"也可以是廣義的，這就冒出一些初聽起來怪異恐怖的新群，像同倫群，同調群，它們是以等價類為元素構造的的群，也就是說同一類元素（可能有無限多個！）只算一個元素。這個先提個醒，後面還要講。

線性映射是最簡單的，也是最重要的：
f(aA+bB)＝af(A)+bf(B)。

舉例：向量空間V，W之間的映射f：V-->W。則dim V = dim (ker f) + dim (im f). dim就是空間的維度。這個結果，雖說平淡，卻異常重要。

對偶空間：V-->V*, W-->W*
"內積"： g(v1,v2) , G(w1,w2)
伴隨映射f^： G(w,fv) = g(v,f^w)

有一簡單但重要的結論，線性映射與其伴隨映射的像空間之維度相等：
dim im f = dim im f^

至此，我們能夠給出一個兒童版的指標定理及完整證明：

對向量空間之間的線性映射f: V-->W，V中元素按ker f作為不變子空間分成等價類，imf 必定與商集V/ker f同構。自然得到：dim V = dim (ker f) + dim (im f)。同樣，我們可以引入余核： coker = W/im f，即W空間中依im f作為不變子空間分出的等價類，顯然有：dim W = dim (coker f) + dim (im f). 於是，我們立得：
dim (ker f) - dim (coker f) ＝ dim V - dim W。
由於dim (coker f) = dim (ker f^) 故上式亦可寫成
dim (ker f) - dim (ker f^) ＝ dim V - dim W。

這個簡單事實意味深長：左邊每項都是非常依賴於f的具體細節，但右邊卻只與整體性質
，即V和W的維度之差有關，它顯然是一個拓撲不變數，因而它告訴我們：儘管左邊每項都是非常依賴於f的具體定義，但其差dim (ker f) - dim (coker f)卻與f沒有關係！這一簡單結果可以理解為玩具級的指標定理：運算元f的解析指標（左邊）等於其作用流形的拓撲指標（右邊）。

─橢圓運算元與纖維叢 zz

一開始提了，本講座不是寫給娃娃的童話，而是以領略數學顛峰奇景為目的，專門撩撥數
學里的超級成人話題，極黃極暴力。看官倘若沒有疑慮、心跳、罪惡感以及憤怒的話，閣
下必定是數學狂魔，而且是絕代混蛋，數界的陳冠希們會上門跪拜求教。不過看官放心，
多數疑問到後面會慢慢澄清，到達頓悟是突然的，不可預測的，但只要稍有耐心它又是必
然的。

那就繼續講集合、運算元。

一類研究得比較充分的線性映像是線性微分運算元。簡單而言，線性微分運算元就是一階，二
階，...導數拼湊成的運算元多項式：
a_(n) f^(n) + a_(n-1) f^(n-1) +...bf
這裡a_(i),i=1,2,...,n以及b都是x的多項式。看官可以驗證一下，它滿足線性映像條件。

假如f是多個變數，x_1,x_2,...,x_n的函數，則上述方程推廣成n元微分運算元多項式方程
，顯然這種微分運算元包含對單個變數x_i,i=1,2,...n的（1,2,...階）導數，也包含對不
同變數的交叉導數，而每個導數的係數，寫成一般的表達式為：a_(i_1,i_2,i_3,...),
i_1+i_2+i_3+...=1,2,...,n,它們都是x_1,x_2,...x_n的多項式。

正如代數多項式的根是代數學的基本問題一樣，運算元多項式的"根"，即給定空間上的微分
方程之零頻解問題，是微分拓撲學里的基本問題，簡單地說也就是一般空間上的偏微分方
程（PDE）求解問題。

正如一元二次方程ax^2+bx+c=0按判別式b^2-4ac＝正、負、零分別對應兩實根、兩復根、
重根的情況一樣，PDE也依係數之關係決定解的差異，因而有拋物運算元、橢圓運算元、雙曲
運算元等之分。PDE的判別式由通過叫象徵的東西給出：簡單而言，就是將要解的PDE轉成其
富里葉形式，
a_(jn) ξ_j^(n) + a_(n-1 k) ξ_k^(n-1) +...bξ
將其按x和ξ的冪次之和歸併，最高次微分項最重要，故用其係數a_(jn)拼湊出n×n主象
征（矩陣）。主象徵矩陣是對稱的。比如二次PDE的主象徵矩陣是2×2，三次PDE的主象徵
矩陣是3×3...依主象徵矩陣之正定，零和負定分別給出橢圓，拋物和雙曲微分運算元。

因此，橢圓運算元定義為：如果微分運算元主象徵矩陣之行列式非零（主象徵矩陣有逆矩陣）
，則為橢圓運算元。

我們做幾個小練習。df/dx-df/dy=0和df/dx-idf/dy=0是兩個看上去相當像的微分方程，
但它們的解的性質卻大相徑庭。第一個解是平庸的，第二個解是解析函數，擁有極豐富的
內涵。從它們的（主）象徵：ia – ib 與 ia + b看，很清楚。第一個方程的象徵在a=b
時都會為零，而第二個僅在a=b=0時才會為零，故第二個方程是橢圓型的，而且只有一個
解，其解空間是一維的（橢圓偏微分方程擁有有限維的解空間）。

看官可以親自驗證，通常向量分析里的梯度，散度和旋度運算元都不是橢圓運算元。

同理，也可以判斷出物理上常用的拉普拉斯運算元（Laplacian）是橢圓運算元，因為其象徵
為- a^2 - b^2，而另一個常用的達朗貝爾運算元（D＇Alambertian）必須限制在光錐外才
是橢圓運算元。

我們考慮緊緻流形，緊緻大體就是有限的意思。泛函分析可以給出簡單的定理：緊緻流形上的橢圓運算元之ker和coker都是有限維的，即所謂Fredholm的。前面講過，對於運算元或映射D: V --> W，coker = W / im D。dim coker不等於零就說明存在D不能映到的地方，也就是說在W上存在額外的限制條件或約束條件。所以，對緊流形，橢圓運算元自動暗含它就是Fredholm運算元。一般解析指標：ind_ana = dim ker D – dim coker D.

至此，可以解釋所謂"微分運算元解析指標是個拓撲不變數"是什麼意思了。就是指運算元里的主象徵矩陣元作連續變化時上述解析指標ind_ana不會改變。或者說，有無限多個PDE的解析指標相等（雖然他們的解的具體形式會有差異）。AS定理告訴你這個值是該微分運算元作用的流形的拓撲性質所決定（難怪與主象徵參數變化無關！）。AS定理也告訴你如何具體算出這個指標的值，也就是說到底是流形的哪個拓撲不變數對應那些（無限多個）橢圓運算元的解析指標。

好，集合與映像聯合王國的基礎概念就暫時介紹到這，其實也沒有太多別的啦。如果到此你還沒有產生恐懼感，我認為你絕對有起碼的數學天賦，品嘗幾口21世紀數學飯館的酒菜還是受得了的，甚至能夠盡情玩樂享受一番。下面講一個具體的集合的例子，跟本主題有關的空間，即纖維叢。

描寫變化的函數，如車輛飛機的路線，股票的漲落，影音訊號，都是用平面曲線記錄的，因此，X-Y坐標系人人會讀，人人要用。其實帶坐標系的二維平面就是一個纖維叢。我們可以想象整個平面是一根Y向直線橫掃X空間而形成的。被橫掃的空間（這裡是X）叫底空間，那根直線就是纖維。

從另一個角度看，我們也可以將XY平面當作一個乘積空間，即每一個X點可以與Y的每一點相乘得到一條直線。

當然這是一個太平庸的例子，但一般意義的纖維叢確實是乘積空間的推廣。"推廣"了什麼？剛才的例子之所以叫平庸，是因為他每個地方的乘法完全一樣，不同X的地方的Y直線毫無差異，就像紅朝人民的腦袋，萬眾一心，平庸得可怕。總而言之，一張四平八板的紙片確實有點無聊。不過，稍微變一下就可以別開生面，例如，將紙帶扭一圈或幾圈以後對接，形成Mobius帶子。哈！你沒辦法用簡單的坐標系或通用的乘法了。局部看來，小人度腹，依然是個"平面方形"，直線段尚在，依然可以用乘積空間描寫，但稍微走遠一點就發現，原來的"Y直線"整條都是直的而且對得很齊但現在"彎掉了"，不對齊了。跳出三界，來個全觀，則發現，相鄰的彎掉的直線之間的關係（轉換函數或聯絡）與扭曲的程度有關。

簡言之，底空間各個地點各有各的纖維空間，就是非平庸叢了。

為了對閣下負責，對底空間，要做點補充。

第一是底空間無須平直，可以彎折。這個不奇怪，地球表面，閣下的俊臉貴體，都是彎曲空間。不彎還不行。沒有曲線美。問題就大了。

第二，空間的長度單位（標準尺）可以隨位置甚至時間而變，即，各個地方的長度單位還不一樣（上海的1尺是廣州的9寸）。這就是最通用的黎曼空間了。黎曼提出這種空間60餘年以後，愛因斯坦找到了一個物理實例（使之成為最偉大的科學家），也就是閣下所在的宇宙，其實就是一個黎曼空間。真是不識廬山真面目，只緣身在此山中。當然閣下想看到尺子鐘錶不一樣，或者看到時空之彎曲，您得稍微走高一點看才行，例如走100萬光年回頭看。藉助現代儀器如原子鐘，地面與衛星軌道的時間差異就可以量出來。這裡終於搭上了短江兄的GR(廣義相對論)話題。

這有個休息亭，好，歇一會：一些人覺得像流形、非歐空間或彎曲空間難以捉摸，這裡試著從一種特別的角度解釋一下。我們回顧一下微積分幹了什麼。依我看，其實就是用古希臘數學家們關於線段、長方形和長方體的已知結果（長度、面積和體積）用來量度一般曲線、曲面和曲體的長度、面積和體積。其中用到的一個基本假設就是，不管多麼"彎曲"的東西，總可以找到一個足夠小的尺度，在此尺度下一切都是平直的。故可以用大量的微小線段、微長方形或微長方體為"尺子"拼湊出任意的形狀或體系。微分幾何的大部分也就是告訴你如何用微小的平直空間來建造一個"任意的"流形，所以基本思想還就是那一點東西在兜來兜去。

非歐空間簡單講就是一個到處充滿奸商政痞地頭蛇的國度，尺度和時間或物價等標準（數學家叫度規）由這些地頭蛇制訂。經歷千萬年演化，這些地頭蛇現在都成了蛇精，變態已極，弄得流形上每一點都有其自己的度規標準，成語"點化成精"得改成"精化成點"。對於一個生活在這個國度的人而言，弄清各個地頭蛇之度量時間標準之兌換率是至關重要的，這個兌換率就叫做聯絡（係數）。有人可能會講，度規確定聯絡係數，簡直是一句廢話，紐約（N）一美元是波士頓（B）的95美分，聯絡係數當然是L_{NB}=1.05或L_{BN}＝0.95。大體沒錯。不過，你們可能還不知道這些地頭蛇有多麼無恥變態，原來，"上海的1尺是廣州的9寸"只是一個大體的說法。地頭蛇說，真正的兌換率還要看你的尺子是朝南北方向量，還是沿東西方向量，還是朝民主街方向量，還是朝自由大道方向量....也就是度規還與方向有關。還有比這更黑心變態的地頭蛇嗎？那種國度最後被上帝警告懲罰，地頭蛇稍有收斂，將同一位置不同方向的度規兌換率用一個簡單函數約束。只要知道三個互相垂直方向的兩兩兌換率（對三維流形總共是9個，對吧？）就可以知道任意方向的兌換率。這9個值就是度規張量。不同地方的度規張量之間的轉換（聯絡係數）也可以決定：度規-->聯絡-->曲率（後面細講）。

這裡我們也看到一個數學與物理、化學和生物的範式對應：線段、長方形和長方體就是數學里的原子、分子和微晶，由此堆集出千千萬萬的流形（包括纖維叢）。

休息完，繼續爬。

底流形上的轉換函數之非平庸由結構群描述。例如，Mobius帶，我們注意到平面與彎摺紙帶可能有整體的差異。這是什麼意思呢？從紙帶上垂直於紙面放一根鉛筆，當他沿紙帶走一圈回來時，平庸情形沒有變化，但在扭曲帶上走時會反向。的結構群為{1,-1}，-1出現在反向黏貼的那個地方。

類似地，纖維也有"轉換函數"的對應物，由叫和樂群的東西描述。再看Mobius帶。現在，不同於平庸情形的"相鄰直線或纖維完全等價"，相鄰"直線"滿足特定的轉換關係（這就是稱為"局部規範變換"的東西）。和樂群歸根到底由結構群決定。
對於一個普通的黎曼流形而言，休息時提了，流形的度規張量完全決定聯絡係數。而對於一個纖維叢而言，底流形的度規張量加上纖維的holonomy群才能決定聯絡。底流形上完成一個循環時纖維空間可能沒有回歸原狀，和樂群是指纖維變化的變換群。

細心的朋友可能會說，你講的所謂整體差異還不是那些局部差異（規範變換）積累起來的嗎？鉛筆指向在扭曲帶上走一圈出現倒向還不是他在走的過程中慢慢逐步積累起來的？太對了。把這句話將得更清楚一點，就是給一批大師贏來功名利祿的東西。包括陳大師省身先生。即所謂的"將整體不變數用某些局部性質的積分表示"。別急，這個東西我們後面也要把他弄得清清楚楚明明白白。

至此，看官自己就可以給纖維叢下定義了。需要的東西為：底空間，纖維空間，轉換映像，還有結構群，或簡記為E（F,M,π,G）。看官看看時間，您花了多久到這裡？數學系本科生四年下來能到達這一步的，罕也，Princeton，Oxford不例外。

好，現在講一講切叢，他是最常見的也是最重要的纖維叢。過底空間上每一點可以畫出無限多條切線，構成切平面。因此可以將切平面當作纖維與底空間合成一個纖維叢，故名切叢。每個切空間也是一個向量空間，故切叢也是向量叢。

於是，我們知道所謂纖維叢的截面就是每一根纖維上拿一點（一個值）來拼出來的東西。是平面曲線y=f(x)的推廣。

以二維球面為底空間的切叢上的一個截面就是該球面上的一個向量場。
古典微積分中導數是函數的變化除以自變數的變化，推廣到纖維叢就是截面的變化（平行移動）對底流形參數的變化，這就是聯絡（一般有多個分量）。直感上可以猜到，纖維叢的聯絡由底流形和纖維二者共同決定。

閣下有一個天生的纖維叢。腦袋錶面是底空間，上面長的頭髮就是纖維，轉換函數依賴於閣下梳頭的風格，結構群為平庸（不是嗎？）。梳梳頭，你得到纖維叢一個不同的截面。
前已述，群本身也是一個空間，因而我們可以將結構群的群空間就當作纖維空間，這種特殊的纖維叢叫主叢。既然主叢的纖維與結構群同一，只需標出底空間和結構群即可，故主叢記為P(M，G)。一個抽象群的元素都可以通過一些具體動作（操作）表現出來，叫群表示。李群，平移群，點群，等等天上神仙客都可以來個投胎下凡，即具體化。具體化就是選定群元素作用的場所，即表示空間。神跡在地球上表現。地球就是神的表示空間。看官可以看到，"表示空間"是多麼地誤導。當初要是叫表演空間多好。既然表演空間也是空間，我們假如將此表演空間當作纖維，也可以構成纖維叢，叫主叢誘導的伴侶叢，簡稱伴叢，記為PxVg，x指直乘，Vg是結構群G的表演空間，他是一個向量空間，故伴叢也叫伴向量叢。

下面是插曲，看官儘管可以略過。

令人驚心動魄的是這些看似靈界仙境才有的東西剛好是我們描述自然界的最可靠工具。現在物理學家認同所有的相互作用都是規範場刻畫，而規範場在數學上與纖維叢完全是一回事。吳大俊和楊振寧證明規範勢是纖維叢（主叢）上的聯絡，而規範場強是纖維叢（主叢底空間）的曲率。朗朗乾坤其實只是纖維叢世界之投影，像在我們世界扮演重要角色的電子似乎生活在三維空間，但實際上他的波函數是生活在以三維空間為底的纖維叢中。量子粒子由波函數描述，通常包含內部自由度。內部自由度對應的波函數可以當作纖維，底空間可以是普通的三維歐氏世界，也可以是（能量運算元的）某個參數空間。因此，按纖維叢術語，體系的波函數就是叢截面。相位部分有動力學部分，幾何部分和拓撲部分，其中后兩種由和樂群描寫。微觀體系的很多＂古怪＂行為全因於此，例如成鍵機制，超導，量子霍爾效應等等。

插曲完了。到此，我們完成至少70％了。迷霧漸散，人心趨定