美妙、有趣的数学（三）令人惊叹的分形艺术之美

美妙、有趣的数学（三）令人惊叹的分形艺术之美

1967年，美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(Benoit Mandelbrot)在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长？》的著名论文，说明了海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。Mandelbrot教授经历了不平凡的潜心研究，于1975年出版了他的关于分形几何的专著《分形、机遇和维数》，标志着分形理论的诞生。Mandelbrot是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。

例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星、布朗粒子运动的轨迹、树冠、西兰花、大脑皮层、细胞基因、心脏的跳动、变幻莫测的天气、股票的起落等等许多现象都具有分形特性，直观而粗略地说，这些对象都是分形图。

分形的定义是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。

分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。自相似性是指局部是整体成比例缩小的性质。形象地说，就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时，无论放大倍数如何改变，看到的照片都是相似的，而从相片上无法判断所用的相机的倍数，即标度不变性或全息性。

对分形几何学进一步的理解：一棵参天大树与它自身的树枝及树枝上的枝杈在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系，在几何形状上称之为自相似关系;我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等，这些例子在我们的身边到处可见。

我们再来看看下面这个图形，它比较像半个雪花的形状，图形左边有三个突起，如果我们取其中的一部分放大，它还是比较像半个雪花，有三个突起，如果再一直这样取一个部分放大，它都会是雪花的形状。

让我们来看看下面几个分形图形（很遗憾，许多叹为观止的曲线，如毕达哥拉斯树 Pythagoras tree；H分形 H-fractal等因容量太大，没有上传成功）

谢尔宾斯基三角形Sierpinski triangle：

维切克分形 Vicsek fractal：

由于分形将数学的美变得更直观更平易近人，它也被很多艺术家青睐，将这些分形图填上颜色就变成了令人遐思、叹为观止的唯美分形艺术图案，分形艺术是“纯数学的美”。

像这样一些美妙的分形几何图多得数不清，这些只是千万张几何分形图中的几张而已。（文中图片借用网络，鸣谢！）

美妙惊奇的分形图画，有时令人心旷神怡，有时又令人眼花缭乱。但是，这些图形不仅仅是亮了我们的眼喔，她的实用价值可高啦！

分形图的应用

分形图最具价值的地方就是它的结构和规律，分形几何学在数学、物理学、生物学、影视业、美术等许多科学领域中都得到了广泛的应用。

视觉工程领域的运用：国内外很多大片都应用了分形几何艺术，早在《星球大战》里，黑武士和天行者拼极光剑的时候，那周围喷涌的岩浆，还有从《星际迷航》、《指环王》、《阿凡达》、《让子弹飞》等大片中也使我们看到一幕幕激动人心的特效场景，这些都是利用分形生成的。用艺术创作的分形软件可以进行动画的制作，这类艺术创作软件能做出比电影里更绚丽的特效来。很多分形艺术作品具有很好的装饰性，如果根据需要的环境、情景来挑选适当的分形软件来做视觉特效的话，效果可以非常棒。

设计布局：分形艺术中优美丰富的图形可以应用到各种布局中 如舞台设计,园林设计，建筑设计等（悉尼歌剧院）。那些灯光的效果、舞蹈造型、舞台造型等等。分形艺术不仅仅是好看而已，她里面还蕴含了深刻的哲学美感，如果一些现实应用采用了分形方案，将可能是非常有创意、深度、境界的设计。

纺织业；在纺织业得到最好地应用，分形信息的计算机可视化把人们引入一个美轮美奂。多姿多彩的图形图像世界，为艺术图案的超乎人的大脑想像的创作开辟了新的源泉，突破了设计瓶颈。图形图像与纺织的结合使得纺织品融艺术性和技术性为一体，具有良好的装饰效果和高附加值，完美地表现分形图案的美妙和精致。

室内装饰作用：装饰画、墙贴、艺术壁纸等等。

设计素材：如广告业，作为素材制作新颖的广告画面，各类商品包装的设计，网站设计等。

印刷品：书籍插画、挂历、台历、海报、明信片、邮票等等，分形图案的复杂与精细程度令人难以置信。

珠宝设计：最经典案例的莫过于那条价值连城的julia集钻石项链，珠宝设计师把一颗颗钻石、蓝宝石按

照julia集的分形结构给串联在一起，产生了史无前例的绝美效果。

分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。既使不懂得其中深奥的数学哲理，也为之感动。分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，改变了人们理解自然奥秘的方式，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。

世界上每一个物体，它不仅是自身，而且包含着其他所有物体。宇宙如此，人与人之间何尝不是这样呢！我们每个人都会影响着其他的人，而其他的人也会影响我们每一个单一的个人。让我们彼此都珍惜能够相遇相识的缘分，求大同存小异，既有共性又有个性，包容、理解、友好地相处，每一个人都体现着集体的特性，所以做好每一个自己，整体就好了。

用英国诗人威廉·布莱克的著名诗句来结束这篇博文，赞叹数学分形图中包含着哲理的美妙。

To see a world in a grain of sand
And a heaven in a wild flower,
Hold infinity in the palm of your hand
And eternity in an hour.

（一位无名者是这样翻译的）

一沙见世界
一花窥天堂
手心握无限
须臾纳永恒

后记:曾经写过一篇与此内容相关的论文，长达六十页，里面书写着大量的公式、符号及数值分析，希望这篇能够通俗些，没有那么枯燥乏味。

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美妙、有趣的数学(一) 数学的数字之美：https://www.backchina.com/blog/302989/article-232730.html

美妙、有趣的数学（二）神奇的斐波那契数与黄金分割 ：https://www.backchina.com/blog/302989/article-233257.html