數學也是宗教

自由之靈 發表於 2011-11-22 11:48
回復 柏桐 35樓 的帖子

世界是無限豐富多彩的，希望以公理系統以有限的幾條公理解釋所有現象註定是要失敗的 ...

這個過程沒準兒還是收斂滴

回復 lambda 41樓 的帖子

空間退化成一個點？

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哥德爾定律是咋回事呀
俺不知道
給掃掃盲吧

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我覺得我往宗教的深淵越滑越深了，罪過罪過

回復 漢紳 43樓 的帖子

這個話碴兒還真不敢接，水太深，看看科普，領會一下精神就好了，推薦這本書：

http://www.amazon.com/G%C3%B6del ... 21936367&sr=1-1

回復 lambda 45樓 的帖子

謝謝

回復 漢紳 46樓 的帖子

表客氣

回復 漢紳 43樓 的帖子

哥得爾定律也被成為哥得爾不完備定理。嚴格地說，在任何一個相容的公理系統中，只要強到可以蘊含皮亞諾算術公理，就可以在其系統中構造既不能證明也不能證否的定理。

一般可以理解為，在多數情況下，你永遠不能找出公理的完整集合。每一次你將一個命題作為公理加入，將總有另一個命題出現在你的研究範圍之外。即你不能以現有的公理體系證明它是正確的或錯誤的。

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謝謝0mm

回復 漢紳 49樓 的帖子

乾脆都給你列出來吧：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5 ... 7%E5%AE%9A%E7%90%86

在數理邏輯中，哥德爾不完備定理是庫爾特·哥德爾於1931年證明並發表的兩條定理。

簡單地說，第一條定理指出：

任何一個相容的數學形式化理論中，只要它強到足以蘊涵皮亞諾算術公理，就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題。

這條定理是在數學界以外最著名的定理之一，也是誤解最多的定理之一。形式邏輯中有一條定理也同樣容易被錯誤表述。有許多命題聽起來很像是哥德爾不完備定理，但事實上是錯誤的。稍後我們可以看到一些對哥德爾定理的誤解。

把第一條定理的證明過程在體系內部形式化后，哥德爾證明了他的第二條定理：

任何相容的形式體系不能用於證明它本身的相容性。

這個結果破壞了數學中一個稱為希爾伯特計劃的哲學企圖。大衛·希爾伯特提出，像實分析那樣較為複雜的體系的相容性，可以用較為簡單的體系中的手段來證明。最終，全部數學的相容性可以歸結為基本算術的相容性。但哥德爾的第二條定理證明了基本算術的相容性不能在自身內部證明，因此當然就不能用來證明比它更強的系統的相容性了。

哥德爾定理的意義：

哥德爾定理是一階邏輯的定理，故最終只能在這個框架內理解。在形式邏輯中，數學命題及其證明都是用一種符號語言描述的，在這裡我們可以機械地檢查每個證明的合法性，於是便可以從一組公理開始無可辯駁地證明一條定理。理論上，這樣的證明可以在電腦上檢查，事實上這樣的合法性檢查程序也已經有了。

為了這個過程得以進行，我們需要知道手頭有什麼樣的公理。我們可以從一組有限的公理集開始，例如歐幾里得幾何。或者更一般地，我們可以允許無窮的公理列表，只要能機械地判斷給定的命題是否是一條公理就行。在計算機科學裡面，這被稱為公理的遞歸集。儘管無窮的公理列表聽起來有些奇怪，實際上自然數的的通常理論中，稱為皮亞諾公理的就是這麼一樣東西。

哥德爾的第一條不完備定理表明任何一個允許定義自然數的體系必定是不完全的：它包含了既不能證明為真也不能證明為假的命題。

存在不完備的體系這一事實本身並不使人感到特別驚訝。例如，在歐幾里得幾何中，如果把平行公設去掉，就得到一個不完備的體系。不完備的體系可能只意味著尚未找出所有必須的公理而已。

但哥德爾揭示的是在多數情況下，例如在數論或者實分析中，你永遠不能找出公理的完整集合。每一次你將一個命題作為公理加入，將總有另一個命題出現在你的研究範圍之外。

你可以加入無窮條公理（例如，所有真命題）到公理列表中確保所有命題都可證明為真或假，但你得到的公理列表將不再是遞歸集。給出任意一條命題，將沒有機械的方法判定它是否是系統的一條公理。如果給出一個證明，一般來說也無法檢查它是否正確。

在計算機科學的語言中，哥德爾定理有另一種表述方式。在一階邏輯中，定理是遞歸可枚舉的：你可以編寫一個可以枚舉出其所有合法證明的程序。你可以問是否可以將結論加強為遞歸的：你可以編寫一個在有限時間內判定命題真假的程序嗎？根據哥德爾定理，答案是一般來說不能。

lambda 發表於 2011-11-21 22:59
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我覺得我往宗教的深淵越滑越深了，罪過罪過

俺再使勁推你一把

回復 自由之靈 51樓 的帖子

感謝版主給俺翅膀，讓俺去找自己的教堂

回復 lambda 52樓 的帖子

回復 自由之靈 50樓 的帖子

你可以編寫一個在有限時間內判定命題真假的程序嗎？根據哥德爾定理，答案是一般來說不能

這個不能有，阿蘭。圖靈證明過了。這個比哥德爾那個好證，七八行就夠了。

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super thank you

回復 lambda 54樓 的帖子

哦，有意思！待會兒去看看

自由之靈 發表於 2011-11-22 00:00
回復 漢紳 49樓 的帖子

乾脆都給你列出來吧：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%9 ...

看不懂。太深奧了。幸好我沒讀數學。

回復 隔岸觀火 57樓 的帖子

你就潛心研究符號學吧

自由之靈 發表於 2011-11-22 21:28
回復 隔岸觀火 57樓 的帖子

你就潛心研究符號學吧

按照聖經的啟示，數字就是符號，而不是既不能證明為對又不能證明為錯的理論。知道上帝為什麼要用土造亞當嗎？因為天干地支表的第一支是天1地1，也就是11。11可以構成「土」字。所以，人是從11這個數開始的，不是從1開始的。

回復 lambda 54樓 的帖子

圖靈的停機問題和哥德爾的不完備定理是等價的，而圖靈的停機問題比較好理解（證明），關鍵就是構造出一個無法停止的自動機就可以了。